Utilize o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
\int \arctan (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \arctan(4x)\,dx
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções u e dv da seguinte forma:
u = \arctan(4x), \quad dv = dx.

Passo 3

Agora calculamos du e v:
du = \frac{4}{1+(4x)^2}\,dx = \frac{4}{1+16x^2}\,dx, \quad v = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \arctan(4x)\,dx = x\arctan(4x) - \int x \cdot \frac{4}{1+16x^2}\,dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int \frac{4x}{1+16x^2}\,dx, fazemos a substituição
w = 1 + 16x^2, \quad dw = 32x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{dw}{32}.
Logo,
\int \frac{4x}{1+16x^2}\,dx = 4 \int \frac{x}{1+16x^2}\,dx = 4 \int \frac{1}{w}\,\frac{dw}{32} = \frac{1}{8}\ln\bigl(1+16x^2\bigr).

Passo 6

Substituindo de volta na expressão principal, obtemos
\int \arctan(4x)\,dx = x\arctan(4x) - \frac{1}{8}\ln\bigl(1+16x^2\bigr) + C.

Resposta

x\arctan(4x) \;-\; \frac{1}{8}\,\ln\bigl(1+16x^2\bigr) \;+\; C.

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