Corollary 1.2.5 Sejam f, g: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x_{0} \in X^{\prime} e \alpha \in \mathbb{R}. Suponhamos que existam os limites
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L, \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=M
Então existem os limites, quando x se aproxima de x_{0}, das seguintes funções
\alpha f, \alpha \in \mathbb{R}, e \lim _{x \rightarrow x_{0}}(\alpha f)(x)=\alpha L

Passo 1

Estamos no contexto de limites de funções e vamos provar a linearidade em relação a um escalar. Mais precisamente, temos f:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}, um ponto de acumulação x_{0}\in X' e um número real \alpha. Sabemos que
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L.
Queremos mostrar que a função \alpha f também tem limite em x_{0} e que
\lim_{x\to x_{0}}(\alpha f)(x)=\alpha L.

Passo 2

Primeiro, se \alpha=0, então (\alpha f)(x)=0 para todo x. Logo é a função constante zero, cujo limite em qualquer ponto é 0. Como \alpha L=0\cdot L=0, temos imediatamente
\lim_{x\to x_{0}}(\alpha f)(x)=0=\alpha L.

Passo 3

Agora suponha \alpha\neq 0. Para usar a definição de limite, seja dado um \varepsilon>0. Queremos encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<|x - x_{0}|<\delta, valha
\bigl|(\alpha f)(x)-\alpha L\bigr|<\varepsilon.
Como
\bigl|(\alpha f)(x)-\alpha L\bigr| =\bigl|\alpha\bigl(f(x)-L\bigr)\bigr| =|\alpha|\;\bigl|f(x)-L\bigr|,
basta garantir \bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon/|\alpha|. Mas sabemos que \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L, então existe \delta>0 tal que, se 0<|x - x_{0}|<\delta, então
\bigl|f(x)-L\bigr|<\frac{\varepsilon}{|\alpha|}.
Concluímos que, com esse mesmo \delta,
\bigl|(\alpha f)(x)-\alpha L\bigr| =|\alpha|\;\bigl|f(x)-L\bigr| <|\alpha|\;\frac{\varepsilon}{|\alpha|} =\varepsilon.
Isso prova que \lim_{x\to x_{0}}(\alpha f)(x)=\alpha L.

Resposta

\lim_{x\to x_{0}}(\alpha f)(x)=\alpha L.

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