Um corpo de 10 kg está suspenso por uma mola de constante \mathrm{k}=2,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. No instante de tempo t=0, possui uma velocidade para baixo de 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando passa da posição de equilíbrio estático. Determine:
a) A deflexão estática da mola \delta est (Resp.: 39,2 \mathrm{~mm} )
b) A frequência natural do sistema tanto em rad/s quanto em ciclos/s ( f_{n} ) (Resp. 2,52 \mathrm{~Hz} )
c) O período do sistema (Resp. 0,397s)
d) O deslocamento x como uma função do tempo, onde x é medido a partir da posição de equilíbrio estático. (Resp. x(t)=0,0316 \operatorname{sen}(15,81 t) \mathrm{m})
e) Velocidade máxima atingida pela massa. (Resp. 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )
f) A aceleração máxima atingida pela massa (Resp. 7,91 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

O enunciado trata de vibração livre não amortecida de um sistema massa–mola com massa m=10,kg e constante elástica k=2{,}5,kN/m (ou seja, k=2500,N/m). Precisamos determinar
  • a deflexão estática \delta_{\text{est}},
  • a frequência natural em rad/s \omega_n e em ciclos/s f_n,
  • o período T,
  • a lei de movimento x(t) medida a partir da posição de equilíbrio estático,
  • a velocidade máxima v_{\max} e
  • a aceleração máxima a_{\max}.
    Como o enunciado diz que, no instante t=0, ao passar pela posição de equilíbrio estático a massa tem velocidade para baixo de 0,5,m/s, adotamos o sinal positivo para baixo e fixamos as condições iniciais
x(0)=0,\quad \dot x(0)=+0,5\;\text{m/s}\,.

Passo 2

Para achar a deflexão estática \delta_{\text{est}} basta igualar o peso à força da mola:
m\,g=k\,\delta_{\text{est}}
\delta_{\text{est}} =\frac{m\,g}{k} =\frac{10\cdot9,81}{2500} =0,03924\;\text{m} =39,24\;\text{mm} \approx39,2\;\text{mm}.

Passo 3

A frequência natural em rad/s é
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{2500}{10}} =\sqrt{250} =15,81\;\text{rad/s}.
Em ciclos por segundo (hertz) temos
f_n=\frac{\omega_n}{2\pi} =\frac{15,81}{2\pi} =2,516\;\text{Hz} \approx2,52\;\text{Hz}.
O período é o inverso de f_n:
T=\frac{1}{f_n} =\frac{1}{2,516} =0,3977\;\text{s} \approx0,397\;\text{s}.

Passo 4

A equação de movimento, definindo x a partir da posição estática, é
\ddot x+\omega_n^2\,x=0.
A solução geral é
x(t)=A\sin(\omega_n t)+B\cos(\omega_n t).
Impondo x(0)=0 B=0. Como \dot x(t)=A\,\omega_n\cos(\omega_n t), de \dot x(0)=0,5 obtemos
A\,\omega_n=0,5 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{0,5}{15,81} =0,03161\;\text{m}.
Logo
x(t)=0,03161\;\sin(15,81\,t)\;\text{m}.

Passo 5

A velocidade máxima é
v_{\max}=A\,\omega_n =0,03161\cdot15,81 =0,5\;\text{m/s}.
A aceleração máxima é
a_{\max}=A\,\omega_n^2 =0,03161\cdot(15,81)^2 =0,03161\cdot250 =7,90\;\text{m/s}^2 \approx7,91\;\text{m/s}^2.

Resposta

a) \delta_{\text{est}}=39,2\;\text{mm}
b) \omega_n=15,81\;\text{rad/s}, \;f_n=2,52\;\text{Hz}
c) T=0,397\;\text{s}
d) x(t)=0,0316\,\sin(15,81\,t)\;\text{m}
e) v_{\max}=0,5\;\text{m/s}
f) a_{\max}=7,91\;\text{m/s}^2

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