Exercício 1.3 Em um modelo simplista do átomo de hidrogênio, o elétron orbita em torno do próton em um círculo de raio 53 pm . Qual é o período orbital do elétron, em segundos, se a força responsável pela atração próton-elétron é
gravitacional?

Passo 1

O enunciado descreve um elétron de massa m_e descrevendo órbita circular de raio r=53 pm em torno de um próton de massa m_p, mas supondo que a atração seja puramente gravitacional. O conteúdo usado será Mecânica Newtoniana: força centrípeta e Lei da Gravitação Universal de Newton.

Passo 2

Em movimento circular uniforme, a força centrípeta é
m_e\,\frac{v^2}{r}
e a força gravitacional entre próton e elétron é
\frac{G\,m_e\,m_p}{r^2}\,.
Igualando-as,
m_e\,\frac{v^2}{r}=\frac{G\,m_e\,m_p}{r^2}
de onde simplifica m_e e isola-se v:
v=\sqrt{\frac{G\,m_p}{r}}\,.

Passo 3

O período orbital T em função da velocidade v e do raio r é
T=\frac{2\pi\,r}{v}\,.
Substituindo v obtido acima,
T =\frac{2\pi\,r}{\sqrt{\frac{G\,m_p}{r}}} =2\pi\,\frac{r^{3/2}}{\sqrt{G\,m_p}}\,.

Passo 4

Vamos agora ao cálculo numérico. Tome
r=53\times10^{-12}\text{ m},\quad G=6{,}67\times10^{-11}\,\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2},\quad m_p=1{,}67\times10^{-27}\,\text{kg}.
Então
r^{3/2}\approx3{,}87\times10^{-16}\,\text{m}^{3/2}, \quad \sqrt{G\,m_p}\approx3{,}34\times10^{-19}\,\text{m}^{3/2}\text{s}^{-1}.
Logo
T =2\pi\,\frac{3{,}87\times10^{-16}}{3{,}34\times10^{-19}} \approx7{,}3\times10^3\;\text{s}.

Resposta

T\approx7{,}3\times10^3 segundos.

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