Um corpo de 64 Newton de peso cai de uma altura de 400 metros com velocidade inicial de 5
. Supondo a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo e sabendo-se que a velocidade limite é de
., determine:
a) Uma expressão para a velocidade do corpo no instante t;
b) Uma expressão para a posição do corpo no instante t;
c) A velocidade e a posição do corpo depois de 10 segundos.
a) Uma expressão para a velocidade do corpo no instante t;
b) Uma expressão para a posição do corpo no instante t;
c) A velocidade e a posição do corpo depois de 10 segundos.
Passo 1
O enunciado trata da queda de um corpo de peso
N a partir de uma altura de
m, com velocidade inicial
m/s. A resistência do ar é proporcional à velocidade e a velocidade limite observada vale
m/s. O conteúdo envolve resolver a EDO linear
encontrar
, depois integrar para obter a posição
(tomando
no instante de soltura, sentido positivo para baixo) e, por fim, avaliar essas expressões em
s.
Passo 2
Como
, a massa do corpo é
e a constante de arrasto
vem de
, logo
Substituindo em
e dividindo por
dá
onde note que
.
Passo 3
Essa EDO é linear de coeficientes constantes. A solução geral com
é
Substituindo
,
e
obtemos
Passo 4
Para a posição
(sentido positivo para baixo, com
) integramos
:
Substituindo os valores numéricos:
Passo 5
Em
s temos
Resposta
a)
.
b) .
c)
b)
c)