Um corpo de 64 Newton de peso cai de uma altura de 400 metros com velocidade inicial de 5 m / seg. Supondo a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo e sabendo-se que a velocidade limite é de 140 m / seg., determine:
a) Uma expressão para a velocidade do corpo no instante t;
b) Uma expressão para a posição do corpo no instante t;
c) A velocidade e a posição do corpo depois de 10 segundos.

Passo 1

O enunciado trata da queda de um corpo de peso W=64 N a partir de uma altura de 400 m, com velocidade inicial v(0)=5 m/s. A resistência do ar é proporcional à velocidade e a velocidade limite observada vale Vt=140 m/s. O conteúdo envolve resolver a EDO linear
mdvdt=mg-kv,
encontrar v(t), depois integrar para obter a posição s(t) (tomando s=0 no instante de soltura, sentido positivo para baixo) e, por fim, avaliar essas expressões em t=10 s.

Passo 2

Como W=mg, a massa do corpo é
m=Wg=649.8(kg),
e a constante de arrasto k vem de Vt=mgk, logo
k=mgVt=64140l(N·s/mr)
Substituindo em m,dv/dt=mg-kv e dividindo por m
dvdt + km,v = g Longrightarrow dvdt + gVt,v = g,
onde note que tfrackm=tfracgVt.

Passo 3

Essa EDO é linear de coeficientes constantes. A solução geral com v(0)=v0 é
v(t)=Vtl[1 - l(1-tfracv0Vtr)e^-(g/Vt)tr]
Substituindo Vt=140, v0=5 e g=9.8 obtemos
v(t) =140l[1 - l(1-tfrac5140r)e^-0.07,tr] =140 - 135,e^-0.07,t (m/s)

Passo 4

Para a posição s(t) (sentido positivo para baixo, com s(0)=0) integramos v(t):
s(t)=integral0^tv(u),du =Vt,t + (v0-Vt)Vtgl[1 - e^-(g/Vt)tr]
Substituindo os valores numéricos:
s(t) =140,t + (5-140),1409.8l[1 - e^-0.07,tr] =140,t - 1928.57l[1 - e^-0.07,tr] (m)

Passo 5

Em t=10 s temos
v(10) =140 - 135,e^-0.7approx 140 - 135cdot0.4966approx 72.9;m/s,
s(10) =140cdot10 - 1928.57l[1 - e^-0.7r] approx 1400 -1928.57cdot0.5034approx 428.0;m

Resposta

a) v(t)=140 - 135,e^-0.07,t.
b) s(t)=140,t - 1928.57l[1 - e^-0.07,tr].
c) v(10)approx72,9;m/s, s(10)approx428,0;m

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