Exercício 32. Seja f: A subset R^2 R, A aberto, e suponha que f admite derivadas parciais em A. Seja (x0, y0) in A. Prove que se partial fpartial x e partial fpartial y forem contínuas em (x0, y0), então f também será.
Sugestão: f(x, y)-f(x0, y0)=underbracef(x, y)-f(x0, y)(I)- aplique o TVM +underbracef(x0, y)-f(x0, y0)(I I)- aplique o TVM .

Passo 1

O enunciado pede para provar que uma função fcolon AsubsetR^2toR que tem derivadas parciais contínuas em l(x0,y0r) é diferenciável ali. O conteúdo é o Teorema de existência do diferencial via continuidade das derivadas parciais. Vamos mostrar que
f(x,y)-f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x-x0)+fy(x0,y0),(y-y0) +ol(raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2r)

Passo 2

Primeiro considere a diferença no eixo x, mantendo y fixo:
f(x,y)-f(x0,y)
Como em A vale o Teorema de Valor Médio unidimensional e xmapsto f(x,y) é derivável, existe c entre x0 e x tal que
f(x,y)-f(x0,y) = fxl(c,yr),(x-x0)

Passo 3

Agora a diferença no eixo y, mantendo x0 fixo:
f(x0,y)-f(x0,y0)
Aplicando novamente o Teorema de Valor Médio em ymapsto f(x0,y), existe s entre y0 e y com
f(x0,y)-f(x0,y0) = fyl(x0,sr),(y-y0)

Passo 4

Somando os dois resultados das Passos 2 e 3, obtemos
f(x,y)-f(x0,y0) = fx(c,y),(x-x0) +fy(x0,s),(y-y0)

Passo 5

Subtraímos a forma linear candidata
L(x,y) = fx(x0,y0),(x-x0)+fy(x0,y0),(y-y0),
e definimos o resto R por
R = f(x,y)-f(x0,y0)-L(x,y)
Então
R = l[fx(c,y)-fx(x0,y0)r],(x-x0) +l[fy(x0,s)-fy(x0,y0)r],(y-y0)

Passo 6

Como fx e fy são contínuas em (x0,y0), dado varepsilon>0 existe de<a>0 tal que sempre que
raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2<de<a temos
l|fx(c,y)-fx(x0,y0)r|<varepsilon, l|fy(x0,s)-fy(x0,y0)r|<varepsilon
Assim, para |(x-x0,y-y0)|<de<a,
|R| <= varepsilon,|x-x0|+varepsilon,|y-y0| = varepsilonl(|x-x0|+|y-y0|r)

Passo 7

Como raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2<=|x-x0|+|y-y0|<=raiz2,raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2, segue
|R|raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2 <= varepsilon,raiz2
Fazendo varepsilonto0 mostra-se que
lim(x,y)to(x0,y0) Rraiz(x-x0)^2+(y-y0)^2=0,
o que é exatamente a condição de diferenciabilidade em (x0,y0).

Resposta

A função f é diferenciável em l(x0,y0r).

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