Resolva os seguintes problemas de otimização.
8. Um veterinário tem 100 m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis, primeiro cercando uma região retangular e depois subdividindo essa região em seis retângulos menores, através de cinco cercas divisórias internas, paralelas a um dos lados. Que dimensões externas, dessa região retangular, maximizam sua área total, se o veterinário gasta os 100 m de tela nessa construção ?
Resposta. 25 m por
.
8. Um veterinário tem 100 m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis, primeiro cercando uma região retangular e depois subdividindo essa região em seis retângulos menores, através de cinco cercas divisórias internas, paralelas a um dos lados. Que dimensões externas, dessa região retangular, maximizam sua área total, se o veterinário gasta os 100 m de tela nessa construção ?
Passo 1
O enunciado pede para cercar um retângulo externo e dividi-lo em seis retângulos iguais usando cinco cercas internas paralelas a um dos lados, consumindo ao todo
m de tela. O conteúdo é otimização de área com restrição de perímetro, e vamos precisar:
– Definir variáveis para os lados externos do retângulo;
– Escrever o comprimento total de tela em função dessas variáveis;
– Expressar a área em função de uma única variável usando a restrição;
– Usar derivada para encontrar o máximo.
– Definir variáveis para os lados externos do retângulo;
– Escrever o comprimento total de tela em função dessas variáveis;
– Expressar a área em função de uma única variável usando a restrição;
– Usar derivada para encontrar o máximo.
Passo 2
Seja
o comprimento horizontal do retângulo externo e
a altura vertical. As cinco cercas internas são paralelas ao lado de altura
, cada uma de comprimento
. O total de tela usado é:
Como temos
m de tela, a restrição é
Passo 3
A área total do retângulo externo é
Da restrição isolamos
:
Substituindo em
obtemos
em função de
:
Passo 4
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Como
, este é um máximo.
Passo 5
Encontramos
correspondente pela restrição:
Resposta
As dimensões externas que maximizam a área são