Resolva os seguintes problemas de otimização.
8. Um veterinário tem 100 m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis, primeiro cercando uma região retangular e depois subdividindo essa região em seis retângulos menores, através de cinco cercas divisórias internas, paralelas a um dos lados. Que dimensões externas, dessa região retangular, maximizam sua área total, se o veterinário gasta os 100 m de tela nessa construção ?
Resposta. 25 m por 50 / 7 approx 7,14 m.

Passo 1

O enunciado pede para cercar um retângulo externo e dividi-lo em seis retângulos iguais usando cinco cercas internas paralelas a um dos lados, consumindo ao todo 100 m de tela. O conteúdo é otimização de área com restrição de perímetro, e vamos precisar:
– Definir variáveis para os lados externos do retângulo;
– Escrever o comprimento total de tela em função dessas variáveis;
– Expressar a área em função de uma única variável usando a restrição;
– Usar derivada para encontrar o máximo.

Passo 2

Seja x o comprimento horizontal do retângulo externo e y a altura vertical. As cinco cercas internas são paralelas ao lado de altura y, cada uma de comprimento y. O total de tela usado é:
2x(fundo + frente) +2y(laterais) +5y(divisórias internas) =2x + 7y ó
Como temos 100 m de tela, a restrição é
2x + 7y = 100

Passo 3

A área total do retângulo externo é
A = x,y
Da restrição isolamos x:
x = 100 - 7y2
Substituindo em A obtemos A em função de y:
A(y) = y;100 - 7y2 = 100y - 7y^22

Passo 4

Para maximizar A(y), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(y) = 100 - 14y2 Longrightarrow 100 - 14y = 0 Longrightarrow y = 10014 = 507approx7,14 m
Como A''(y) = -7 < 0, este é um máximo.

Passo 5

Encontramos x correspondente pela restrição:
x = 100 - 7,(50/7)2 = 100 - 502 = 25 m

Resposta

As dimensões externas que maximizam a área são
25 mtimes507 mapprox25 mtimes7,14 m

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