Um corpo é abandonado de uma altura de 800 metros. Supondo a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo, e sabendo-se que a velocidadc limite e sua massa valem, respectivamente,
e 5 kg , determine:
a) Uma expressão para a velocidade do corpo no instante t.
b) Uma expressão para a posição do corpo no instante t.
c) A posição do corpo após 3 segundos.
a) Uma expressão para a velocidade do corpo no instante t.
b) Uma expressão para a posição do corpo no instante t.
c) A posição do corpo após 3 segundos.
Passo 1
O enunciado diz que um corpo de massa
kg é abandonado de uma altura de
m e sofre resistência do ar proporcional à velocidade. A velocidade limite é
m/s. Vamos formular a equação de movimento (conteúdo: EDO linear de
.º ordem) para achar primeiro a velocidade
e, em seguida, integrar para obter a posição
.
Passo 2
A segunda lei de Newton com resistência proporcional a
dá
onde
m/
e
é a constante de resistência. Como em regime permanente
e
, temos
Passo 3
A EDO fica
isto é
A solução com condição
é
Passo 4
Para achar a posição, definimos
como a altura acima do solo, com
. A distância percorrida é
Logo
Passo 5
No instante
s, temos
então a altura é
Resposta
a)
,m/s.
b) ,m.
c) m.
b)
c)