Um corpo é abandonado de uma altura de 800 metros. Supondo a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo, e sabendo-se que a velocidadc limite e sua massa valem, respectivamente, 100 m / s e 5 kg , determine:
a) Uma expressão para a velocidade do corpo no instante t.
b) Uma expressão para a posição do corpo no instante t.
c) A posição do corpo após 3 segundos.

Passo 1

O enunciado diz que um corpo de massa m=5 kg é abandonado de uma altura de 800 m e sofre resistência do ar proporcional à velocidade. A velocidade limite é vinfty=100 m/s. Vamos formular a equação de movimento (conteúdo: EDO linear de 1.º ordem) para achar primeiro a velocidade v(t) e, em seguida, integrar para obter a posição x(t).

Passo 2

A segunda lei de Newton com resistência proporcional a v
mdvdt = mg - kv,
onde g=9,8 m/ s^2 e k é a constante de resistência. Como em regime permanente dv/dt=0 e v=vinfty, temos
0 = mg - k vinfty Longrightarrow k = mgvinfty = 5cdot9,8100 = 0,49

Passo 3

A EDO fica
dvdt + kmv = g,
isto é
dvdt + 0,098,v = 9,8
A solução com condição v(0)=0 é
v(t) = vinftyl(1 - e^-kmtr) = 100l(1 - e^-0,098tr)(m/s)

Passo 4

Para achar a posição, definimos x(t) como a altura acima do solo, com x(0)=800. A distância percorrida é
s(t)=integral0^tv(s),ds =integral0^t100l(1-e^-0,098sr)ds =100,t+1000,098l(e^-0,098t-1r)
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x(t)=800 - s(t) =800 - 100,t - 1000,098l(e^-0,098t-1r)(m)

Passo 5

No instante t=3 s, temos
s(3)=100cdot3+1000,098l(e^-0,294-1r) approx 300 +1020,41,(0,745 -1) approx 39,8 m,
então a altura é
x(3)=800 - 39,8 = 760,2 m

Resposta

a) v(t)=100l(1 - e^-0,098,tr),m/s.
b) x(t)=800 - 100,t - 1000,098l(e^-0,098t-1r),m.
c) x(3)approx 760,2 m.

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