Encontre os pontos de máximo (xmax ) e de mínimo (xmin ), bem como os valores f(xmax ) e f(xmin ), máximo e mínimo, de cada função f(x) dada, no intervalo indicado.
f(x)=x1+x^2, x in R.
Resposta. x min =-1, x max =1, f(-1)=-1 / 2, f(1)=1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede o máximo e o mínimo globais da função
f(x)=x1+x^2
no domínio R. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos e, em seguida, analisar seu caráter (máximo ou mínimo) pelo sinal de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do quociente. Seja u(x)=x e v(x)=1+x^2. Então
u'(x)=1, v'(x)=2x
e
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(1+x^2)-xcdot2x(1+x^2)^2 =1+x^2-2x^2(1+x^2)^2 =1-x^2(1+x^2)^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Como (1+x^2)^2>0 para todo x, basta
1 - x^2 = 0 Longrightarrow x^2=1 Longrightarrow x=pm1
Não há outros pontos críticos nem pontos onde f' seja indefinida.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=1-x^2(1+x^2)^2:
  • Para |x|<1, 1-x^2>0 então f'(x)>0 (função crescente).
  • Para |x|>1, 1-x^2<0 então f'(x)<0 (função decrescente).
    Isso indica que em x=-1 há mudança de decrescente para crescente (mínimo) e em x=1 mudança de crescente para decrescente (máximo).

Passo 5

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-1)=-11+(-1)^2=-12=-tfrac12, f(1)=11+1^2=12=tfrac12

Resposta

xmin=-1, xmax=1, f(-1)=-tfrac12, f(1)=tfrac12.

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