Um corpo é atirado para cima. subindo e logo em seguida retornando ao ponto de origem após 5 s Determine:
a) A equação horária do movimento
b) A altura máxima atingida

Passo 1

O enunciado diz: um corpo é lançado verticalmente para cima e retorna ao ponto de origem após \,5\\ \text{s}\,. Pede-se:
  • (a) a equação horária do movimento (ou seja, y(t));
  • (b) a altura máxima atingida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tempo total de voo: \,T=5\\ \text{s}\,.
  • O corpo parte e retorna ao mesmo ponto (mesma altura inicial e final).
  • Não foi dada outra informação, então será assumido o campo gravitacional uniforme com aceleração da gravidade \,g=9{,}8\\ \text{m/s}^2\, e que desprezamos resistência do ar.
  • Adotarei a convenção: sentido para cima é positivo, origem do eixo vertical é o ponto de lançamento (ou seja, y(0)=0).

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (aula rápida):
  • Para movimento vertical uniformemente variado com aceleração constante -g (pois a gravidade aponta para baixo), a equação da posição em função do tempo é
y(t)=y_0+v_0 t-\tfrac{1}{2}g t^2.
Aqui:
  • \,y(t)\, é a altura no instante \,t\; (em metros),
  • \,y_0\, é a altura inicial (em metros). No nosso problema \,y_0=0\;,
  • \,v_0\, é a velocidade inicial para cima (em m/s) — desconhecida ainda,
  • \,g\, é a aceleração da gravidade \,9{,}8\\ \text{m/s}^2\;,
  • \,t\, é o tempo em segundos.
  • A velocidade instantânea é dada por
v(t)=v_0-g t.
No ponto mais alto a velocidade instantânea vale zero. Também, para um lançamento e retorno à mesma altura, o tempo de subida é metade do tempo total: \,t_{\text{subida}}=T/2.

Passo 3

Determinar a velocidade inicial \,v_0 usando o tempo de subida.
Como o corpo retorna ao ponto de origem em T=5\\ \text{s}, o tempo de subida até o ponto mais alto é
t_{\text{subida}}=\frac{T}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5\\ \text{s}.
No ponto mais alto a velocidade é zero, então usando v(t)=v_0-g t com t=t_{\text{subida}} e v=0:
0=v_0-g\,t_{\text{subida}} \quad\Rightarrow\quad v_0=g\,t_{\text{subida}}.

Passo 4

Calcular numericamente \,v_0.
Substituindo g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 e t_{\text{subida}}=2{,}5\\ \text{s}:
v_0=9{,}8\cdot 2{,}5=24{,}5\\ \text{m/s}.
Portanto a velocidade inicial para cima é \,v_0=24{,}5\\ \text{m/s}.

Passo 5

Escrever a equação horária y(t) com os valores encontrados.
Como y_0=0, substituímos \,v_0 e \,g em
y(t)=v_0 t-\tfrac{1}{2}g t^2.
Assim:
y(t)=24{,}5\,t-\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\,t^2.
Simplificando o coeficiente do termo quadrático ( \tfrac{1}{2}\cdot9{,}8=4{,}9):
y(t)=24{,}5\,t-4{,}9\,t^2\quad(\text{metros},\\ t\\ \text{em segundos}).

Passo 6

Verificação rápida (controle de consistência): ver se y(T)=0 com T=5\\ \text{s}.
Calcular y(5) pela fórmula:
y(5)=24{,}5\cdot 5 -4{,}9\cdot 5^2 =122{,}5 -4{,}9\cdot 25.
Como 4{,}9\cdot 25=122{,}5, segue y(5)=0. Bom: a equação retorna ao ponto de origem no tempo dado — coerente.

Passo 7

Determinar a altura máxima \,H.
Método 1 (físico-intuitivo): a altura máxima ocorre no tempo de subida t_{\text{subida}}=2{,}5\\ \text{s}. Basta avaliar y(t) em t=2{,}5.
Método 2 (fórmula direta): para movimento uniformemente variado, a altura máxima relativa ao lançamento pode ser calculada por
H=\frac{v_0^2}{2g},
que se obtém a partir de energia ou da relação v^2=v_0^2-2g\Delta y com v=0 no topo. Vou usar a fórmula direta (é mais curto e seguro).

Passo 8

Calcular numericamente \,H usando \,v_0=24{,}5\\ \text{m/s} e \,g=9{,}8\\ \text{m/s}^2:
H=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{24{,}5^2}{2\cdot 9{,}8}=\frac{600{,}25}{19{,}6}=30{,}625\\ \text{m}.
Para apresentação usual, arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
H\approx 30{,}63\\ \text{m}.

Passo 9

Resumo final dos resultados (antes da resposta final):
  • Equação horária: \,y(t)=24{,}5\,t-4{,}9\,t^2 (m).
  • Altura máxima: \,H=30{,}625\\ \text{m}\approx 30{,}63\\ \text{m}.

Resposta

y(t)=24{,}5\,t-4{,}9\,t^2\\ \text{m}\n
H=30{,}625\\ \text{m}\\ \approx 30{,}63\\ \text{m}

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