Um corpo é atirado para cima. subindo e logo em seguida retornando ao ponto de origem após 5 s Determine:
a) A equação horária do movimento
b) A altura máxima atingida
a) A equação horária do movimento
b) A altura máxima atingida
Passo 1
O enunciado diz: um corpo é lançado verticalmente para cima e retorna ao ponto de origem após
. Pede-se:
- (a) a equação horária do movimento (ou seja,
); - (b) a altura máxima atingida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Tempo total de voo:
. - O corpo parte e retorna ao mesmo ponto (mesma altura inicial e final).
- Não foi dada outra informação, então será assumido o campo gravitacional uniforme com aceleração da gravidade
e que desprezamos resistência do ar. - Adotarei a convenção: sentido para cima é positivo, origem do eixo vertical é o ponto de lançamento (ou seja,
).
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (aula rápida):
- Para movimento vertical uniformemente variado com aceleração constante
(pois a gravidade aponta para baixo), a equação da posição em função do tempo é
Aqui:
-
é a altura no instante (em metros), -
é a altura inicial (em metros). No nosso problema , -
é a velocidade inicial para cima (em m/s) — desconhecida ainda, -
é a aceleração da gravidade , -
é o tempo em segundos. -
A velocidade instantânea é dada por
No ponto mais alto a velocidade instantânea vale zero. Também, para um lançamento e retorno à mesma altura, o tempo de subida é metade do tempo total:
.
Passo 3
Determinar a velocidade inicial
usando o tempo de subida.
Como o corpo retorna ao ponto de origem em , o tempo de subida até o ponto mais alto é
Como o corpo retorna ao ponto de origem em
No ponto mais alto a velocidade é zero, então usando
com
e
:
Passo 4
Calcular numericamente
.
Substituindo e
:
Substituindo
Portanto a velocidade inicial para cima é
.
Passo 5
Escrever a equação horária
com os valores encontrados.
Como , substituímos
e
em
Como
Assim:
Simplificando o coeficiente do termo quadrático (
):
Passo 6
Verificação rápida (controle de consistência): ver se
com
.
Calcular pela fórmula:
Calcular
Como
, segue
. Bom: a equação retorna ao ponto de origem no tempo dado — coerente.
Passo 7
Determinar a altura máxima
.
Método 1 (físico-intuitivo): a altura máxima ocorre no tempo de subida . Basta avaliar
em
.
Método 2 (fórmula direta): para movimento uniformemente variado, a altura máxima relativa ao lançamento pode ser calculada por
Método 1 (físico-intuitivo): a altura máxima ocorre no tempo de subida
Método 2 (fórmula direta): para movimento uniformemente variado, a altura máxima relativa ao lançamento pode ser calculada por
que se obtém a partir de energia ou da relação
com
no topo. Vou usar a fórmula direta (é mais curto e seguro).
Passo 8
Calcular numericamente
usando
e
:
Para apresentação usual, arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
Passo 9
Resumo final dos resultados (antes da resposta final):
- Equação horária:
(m). - Altura máxima:
.