Dois corpos em movimento retilíneo partem do mesmo ponto, o primeiro em MRU com velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e o segundo em MRUV, partindo do repouso, com aceleração de 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine.
a) o instante da ultrapassagem.
b) a posição da ultrapassagem.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre movimentos que partem do mesmo ponto e do mesmo instante t=0:
  • Primeiro corpo: movimento retilíneo uniforme (MRU) com velocidade \,v_1=30\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Segundo corpo: movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), parte do repouso com aceleração \,a=1{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\,. Logo a velocidade inicial do segundo é \,v_{0}=0\\ \mathrm{m/s}\,.
    O que o enunciado pede:
    a) determinar o instante em que o segundo corpo ultrapassa o primeiro (isto é, quando ocupam a mesma posição pela primeira vez depois de t=0);
    b) determinar a posição (distância a partir do ponto inicial) onde ocorre essa ultrapassagem.

Passo 2

Escrever as equações de posição de cada corpo e explicar as variáveis.
  • Para MRU (primeiro corpo) a equação da posição é a fórmula conhecida:
x_1(t)=x_{1,0}+v_1 t.
Aqui x_1(t) é a posição do primeiro corpo no instante t, x_{1,0} é a posição inicial (aqui x_{1,0}=0 porque partem do mesmo ponto) e v_1 é a velocidade constante ( 30\\ \mathrm{m/s}).
  • Para MRUV (segundo corpo) a equação da posição é a fórmula do deslocamento com aceleração constante:
x_2(t)=x_{2,0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2} a t^{2}.
Aqui x_2(t) é a posição do segundo corpo, x_{2,0}=0 (mesmo ponto inicial), v_{0}=0 (partiu do repouso) e a=1{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Substituindo as condições iniciais x_{1,0}=x_{2,0}=0 e v_0=0, as fórmulas ficam:
x_1(t)=v_1 t, \qquad x_2(t)=\tfrac{1}{2} a t^{2}.

Passo 3

Explicar por que igualar as posições dá o instante da ultrapassagem e montar a equação.
A ultrapassagem ocorre quando x_1(t)=x_2(t). Então:
v_1 t = \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Essa equação pode ser rearranjada para encontrar t. Colocando todos os termos num lado:
\tfrac{1}{2} a t^{2} - v_1 t = 0.
Fatorando t:
t\Big(\tfrac{1}{2} a t - v_1\Big)=0.
As soluções são t=0 (o instante inicial, onde estão juntos) e \tfrac{1}{2} a t - v_1=0 (a ultrapassagem depois de t=0). Queremos a segunda solução não nula.

Passo 4

Resolver a equação não-trivial para t e substituir os valores numéricos.
Da equação \tfrac{1}{2} a t - v_1=0 vem
\tfrac{1}{2} a t = v_1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2 v_1}{a}.
Substituindo v_1=30\\ \mathrm{m/s} e a=1{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t=\frac{2\cdot 30}{1{,}8}=\frac{60}{1{,}8}.
Fazer a simplificação de frações: 1{,}8=\dfrac{18}{10}, então
\frac{60}{1{,}8}=\frac{60}{18/10}=60\cdot\frac{10}{18}=\frac{600}{18}=\frac{100}{3}.
Logo
t=\frac{100}{3}\\ \mathrm{s}\approx 33{,}33\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a posição da ultrapassagem usando qualquer uma das expressões de posição (uso a do MRU por ser mais simples).
Usando x_1(t)=v_1 t com v_1=30\\ \mathrm{m/s} e t=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{s}:
x=v_1 t = 30\cdot\frac{100}{3}=\frac{3000}{3}=1000\\ \mathrm{m}.
Como verificação rápida, usando x_2(t)=\tfrac{1}{2} a t^{2}:
x_2=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}8\cdot\Big(\frac{100}{3}\Big)^{2}=0{,}9\cdot\frac{10000}{9}=1000\\ \mathrm{m},
compatível com o resultado anterior.

Passo 6

Interpretação física curta e incentivo:
  • A solução t=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{s} é o instante após o qual o corpo acelerado, partindo do repouso, alcança e ultrapassa o corpo que já vinha com velocidade constante de 30\\ \mathrm{m/s}.
  • A ultrapassagem ocorre a 1000\\ \mathrm{m} do ponto inicial.
    Boa! Mesmo começando agora dá pra fazer certinho — manda ver na prova!

Resposta

a) t=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{s}\approx33{,}33\\ \mathrm{s}
b) x=1000\\ \mathrm{m}

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