Dois corpos em movimento retilíneo partem do mesmo ponto, o primeiro em MRU com velocidade de
, e o segundo em MRUV, partindo do repouso, com aceleração de
. Determine.
a) o instante da ultrapassagem.
b) a posição da ultrapassagem.
a) o instante da ultrapassagem.
b) a posição da ultrapassagem.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre movimentos que partem do mesmo ponto e do mesmo instante
:
- Primeiro corpo: movimento retilíneo uniforme (MRU) com velocidade
. - Segundo corpo: movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), parte do repouso com aceleração
. Logo a velocidade inicial do segundo é .
O que o enunciado pede:
a) determinar o instante em que o segundo corpo ultrapassa o primeiro (isto é, quando ocupam a mesma posição pela primeira vez depois de);
b) determinar a posição (distância a partir do ponto inicial) onde ocorre essa ultrapassagem.
Passo 2
Escrever as equações de posição de cada corpo e explicar as variáveis.
- Para MRU (primeiro corpo) a equação da posição é a fórmula conhecida:
Aqui
é a posição do primeiro corpo no instante
,
é a posição inicial (aqui
porque partem do mesmo ponto) e
é a velocidade constante (
).
- Para MRUV (segundo corpo) a equação da posição é a fórmula do deslocamento com aceleração constante:
Aqui
é a posição do segundo corpo,
(mesmo ponto inicial),
(partiu do repouso) e
.
Substituindo as condições iniciais
e
, as fórmulas ficam:
Passo 3
Explicar por que igualar as posições dá o instante da ultrapassagem e montar a equação.
A ultrapassagem ocorre quando . Então:
A ultrapassagem ocorre quando
Essa equação pode ser rearranjada para encontrar
. Colocando todos os termos num lado:
Fatorando
:
As soluções são
(o instante inicial, onde estão juntos) e
(a ultrapassagem depois de
). Queremos a segunda solução não nula.
Passo 4
Resolver a equação não-trivial para
e substituir os valores numéricos.
Da equação vem
Da equação
Substituindo
e
:
Fazer a simplificação de frações:
, então
Logo
Passo 5
Calcular a posição da ultrapassagem usando qualquer uma das expressões de posição (uso a do MRU por ser mais simples).
Usando com
e
:
Usando
Como verificação rápida, usando
:
compatível com o resultado anterior.
Passo 6
Interpretação física curta e incentivo:
- A solução
é o instante após o qual o corpo acelerado, partindo do repouso, alcança e ultrapassa o corpo que já vinha com velocidade constante de . - A ultrapassagem ocorre a
do ponto inicial.
Boa! Mesmo começando agora dá pra fazer certinho — manda ver na prova!
Resposta
a)
b)
b)