Um corpo move-se em MRUV, partindo da posição x_{0}=200 \mathrm{~m}, com velocidade inicial de v_{0}= 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e aceleração +5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine a posição da inversão do movimento.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (todos retirados do enunciado):
  • Posição inicial: x_{0}=200\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial: v_{0}=30\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração constante: a=+5\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O problema pede: determinar a posição da inversão do movimento (ou seja, o ponto em que a velocidade se anula e o corpo inverte o sentido).

Passo 2

Que fórmula usar para encontrar a inversão do movimento?
Em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) com aceleração constante valem duas fórmulas fundamentais:
  • A velocidade em função do tempo:
v(t)=v_{0}+a\,t,
onde v(t) é a velocidade no instante t, v_{0} é a velocidade inicial (no instante t=0) e a é a aceleração constante.
  • A posição em função do tempo:
x(t)=x_{0}+v_{0}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2},
onde x(t) é a posição no instante t e x_{0} é a posição inicial.
Para achar a inversão do movimento queremos o instante em que a velocidade se torna zero. Portanto, vamos igualar \;v(t)=0\; e resolver para t. Depois, com esse t, usamos x(t) para obter a posição de inversão.

Passo 3

Calcular o instante em que a velocidade é zero.
Partimos de
0=v_{0}+a\,t.
Isolando t:
t=\dfrac{-v_{0}}{a}.
Substituindo os valores dados ( v_{0}=30\\ \mathrm{m/s} e a=5\\ \mathrm{m/s^{2}}):
t=\dfrac{-30}{5}=-6\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: o resultado t=-6\\ \mathrm{s} é um tempo negativo, isto é, a velocidade chega a zero 6 segundos antes do instante que o enunciado chamou de t=0. Isso significa que, se se considera o movimento no futuro a partir de t=0, não haverá inversão (a velocidade é positiva e a aceleração também é positiva, então o corpo continua acelerando no mesmo sentido). Ainda assim, existe matematicamente um instante (no passado) em que a velocidade foi zero; vamos calcular a posição nesse instante.

Passo 4

Calcular a posição correspondente a t=-6\\ \mathrm{s} usando a fórmula da posição.
Usamos
x(t)=x_{0}+v_{0}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}.
Substituindo x_{0}=200\\ \mathrm{m}, v_{0}=30\\ \mathrm{m/s}, a=5\\ \mathrm{m/s^{2}} e t=-6\\ \mathrm{s}:
x(-6)=200 + 30\cdot(-6) + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot(-6)^{2}.
Agora calculo passo a passo:
30\cdot(-6)=-180,
(-6)^{2}=36,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 36 = 2{,}5\cdot 36 = 90.
Somando:
x(-6)=200 -180 +90 = 110\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação final e observação prática para prova.
  • A posição em que a velocidade se anula (inversão do sentido) é x=110\\ \mathrm{m}, e isso ocorre no instante t=-6\\ \mathrm{s}, ou seja, 6 segundos antes do instante t=0 citado no enunciado.
  • Se a questão considerar apenas instantes t\ge 0 (o que costuma ser o caso em muitos problemas), então não há inversão do movimento no futuro: com v_{0}=30\\ \mathrm{m/s} e a=+5\\ \mathrm{m/s^{2}} a velocidade aumenta e nunca zera para t\ge0.
Força aí — essa interpretação de olhar o sinal de v_{0} e a e verificar se o tempo encontrado é negativo é uma dica útil pra prova: muitas vezes a equação dá um tempo negativo e isso significa que o evento já aconteceu antes do referencial t=0.

Resposta

x=110\\ \mathrm{m} (ocorre em t=-6\\ \mathrm{s}; para t\ge0 não há inversão do movimento)

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