- Um corpo que cai livremente de uma determinada altura H atinge um plano inclinado em seu caminho, a uma altura h. Como resultado desse impacto, a direção da velocidade do corpo fica horizontal. Para qual valor de
, o corpo terá o tempo máximo para atingir o solo?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho para ficar claro o que temos e o que pedem):
- Um corpo parte do repouso do alto de uma altura
e cai sob a ação da gravidade. - No caminho ele atinge um plano inclinado que está a uma altura
acima do solo (ou seja, o corpo já caiu de até quando bate no plano). - Como resultado do impacto com o plano, a direção da velocidade do corpo após o choque fica horizontal (isto é, a componente vertical da velocidade imediatamente após o choque é zero).
- A gravidade é
(constante), e desprezamos resistência do ar.
O que o problema pede: determinar o valor deque torna o tempo total desde a saída do repouso até atingir o solo o maior possível.
Passo 2
Vamos calcular o tempo que o corpo leva desde o repouso até atingir o plano inclinado (tempo anterior ao impacto).
Regra física que usamos (equação da queda livre a partir do repouso): quando um corpo parte do repouso e cai verticalmente sob aceleração constante , a distância percorrida
em tempo
é
Regra física que usamos (equação da queda livre a partir do repouso): quando um corpo parte do repouso e cai verticalmente sob aceleração constante
Aqui, o corpo cai da altura
até a altura
, então a distância percorrida antes do impacto é
Aplicando a fórmula e isolando o tempo
,
Expliquei cada símbolo:
é o tempo até o impacto;
é a aceleração da gravidade;
é a distância vertical percorrida antes do impacto.
Passo 3
Agora o tempo depois do impacto (tempo para cair de altura
até o solo).
Pela hipótese do enunciado, após o impacto a velocidade fica horizontal, ou seja, a componente vertical da velocidade imediatamente após o choque é . Assim, a queda vertical a partir da altura
começa com velocidade vertical nula. Usamos novamente
Pela hipótese do enunciado, após o impacto a velocidade fica horizontal, ou seja, a componente vertical da velocidade imediatamente após o choque é
agora com
e tempo
. Então
Observação importante e útil para a prova: o tempo
depende somente de
(e de
), e não depende da velocidade horizontal do corpo. Ou seja, qualquer velocidade horizontal não altera o tempo de queda vertical com velocidade vertical inicial zero.
Passo 4
Tempo total desde o início até atingir o solo:
Factor comum
para simplificar:
Como
é constante, maximizar
em relação a
é equivalente a maximizar a função
para
. Agora vamos encontrar
que torna
máximo.
Passo 5
Usamos cálculo (derivada) para achar o máximo. Calcule a derivada de
:
Derivando termo a termo (usando regra da cadeia):
Para um extremo interior (0<h<H) igualamos a zero:
Multiplicando por
e reorganizando:
Isso implica
Logo
Passo 6
Confirmar que é máximo (teste da segunda derivada). Calcule
:
Para
cada termo é negativo, logo
. Portanto a crítica encontrada é de máximo. Assim
realmente dá o tempo total máximo.
Passo 7
Interpretação final e dica de prova: o tempo total é maximizado quando o plano intercepta a trajetória exatamente no meio da altura inicial; em termos relativos
. Isso faz sentido também por simetria da expressão
: a soma de duas raízes iguais é maximizada quando os radicandos são iguais (dado o somatório fixo
na soma dos argumentos).
Resposta
C)