1. Um corpo que cai livremente de uma determinada altura H atinge um plano inclinado em seu caminho, a uma altura h. Como resultado desse impacto, a direção da velocidade do corpo fica horizontal. Para qual valor de \frac{h}{H}, o corpo terá o tempo máximo para atingir o solo?
    A) 1 / 4
    B) 1 / 3
    C) 1 / 2
    D) 3 / 4
    E) 2 / 3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho para ficar claro o que temos e o que pedem):
  • Um corpo parte do repouso do alto de uma altura H e cai sob a ação da gravidade.
  • No caminho ele atinge um plano inclinado que está a uma altura h acima do solo (ou seja, o corpo já caiu de H até h quando bate no plano).
  • Como resultado do impacto com o plano, a direção da velocidade do corpo após o choque fica horizontal (isto é, a componente vertical da velocidade imediatamente após o choque é zero).
  • A gravidade é g (constante), e desprezamos resistência do ar.
    O que o problema pede: determinar o valor de \dfrac{h}{H} que torna o tempo total desde a saída do repouso até atingir o solo o maior possível.

Passo 2

Vamos calcular o tempo que o corpo leva desde o repouso até atingir o plano inclinado (tempo anterior ao impacto).
Regra física que usamos (equação da queda livre a partir do repouso): quando um corpo parte do repouso e cai verticalmente sob aceleração constante g, a distância percorrida s em tempo t é
s=\tfrac{1}{2}gt^{2}.
Aqui, o corpo cai da altura H até a altura h, então a distância percorrida antes do impacto é
s_1=H-h.
Aplicando a fórmula e isolando o tempo t_1,
H-h=\tfrac{1}{2}g t_{1}^{2} \quad\Rightarrow\quad t_{1}=\sqrt{\dfrac{2(H-h)}{g}}.
Expliquei cada símbolo: t_{1} é o tempo até o impacto; g é a aceleração da gravidade; H-h é a distância vertical percorrida antes do impacto.

Passo 3

Agora o tempo depois do impacto (tempo para cair de altura h até o solo).
Pela hipótese do enunciado, após o impacto a velocidade fica horizontal, ou seja, a componente vertical da velocidade imediatamente após o choque é 0. Assim, a queda vertical a partir da altura h começa com velocidade vertical nula. Usamos novamente
s=\tfrac{1}{2}gt^{2},
agora com s_{2}=h e tempo t_{2}. Então
h=\tfrac{1}{2}g t_{2}^{2} \quad\Rightarrow\quad t_{2}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Observação importante e útil para a prova: o tempo t_{2} depende somente de h (e de g), e não depende da velocidade horizontal do corpo. Ou seja, qualquer velocidade horizontal não altera o tempo de queda vertical com velocidade vertical inicial zero.

Passo 4

Tempo total desde o início até atingir o solo:
T(h)=t_{1}+t_{2}=\sqrt{\dfrac{2(H-h)}{g}}+\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Factor comum \sqrt{\dfrac{2}{g}} para simplificar:
T(h)=\sqrt{\dfrac{2}{g}}\;\big(\sqrt{H-h}+\sqrt{h}\,\big).
Como \sqrt{\dfrac{2}{g}} é constante, maximizar T(h) em relação a h é equivalente a maximizar a função
f(h)=\sqrt{H-h}+\sqrt{h},
para 0\le h\le H. Agora vamos encontrar h que torna f(h) máximo.

Passo 5

Usamos cálculo (derivada) para achar o máximo. Calcule a derivada de f(h):
f(h)= (H-h)^{1/2}+h^{1/2}.
Derivando termo a termo (usando regra da cadeia):
f'(h) = -\tfrac{1}{2}(H-h)^{-1/2} + \tfrac{1}{2}h^{-1/2}.
Para um extremo interior (0<h<H) igualamos a zero:
-\tfrac{1}{2}(H-h)^{-1/2} + \tfrac{1}{2}h^{-1/2}=0.
Multiplicando por 2 e reorganizando:
h^{-1/2}=(H-h)^{-1/2}.
Isso implica
\sqrt{h}=\sqrt{H-h} \quad\Rightarrow\quad h=H-h.
Logo
h=\dfrac{H}{2}.

Passo 6

Confirmar que é máximo (teste da segunda derivada). Calcule f''(h):
f''(h)=-\tfrac{1}{4}(H-h)^{-3/2}-\tfrac{1}{4}h^{-3/2}.
Para 0<h<H cada termo é negativo, logo f''(h)<0. Portanto a crítica encontrada é de máximo. Assim h=\dfrac{H}{2} realmente dá o tempo total máximo.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova: o tempo total é maximizado quando o plano intercepta a trajetória exatamente no meio da altura inicial; em termos relativos \dfrac{h}{H}=\dfrac{1}{2}. Isso faz sentido também por simetria da expressão \sqrt{H-h}+\sqrt{h}: a soma de duas raízes iguais é maximizada quando os radicandos são iguais (dado o somatório fixo H na soma dos argumentos).

Resposta

C) \dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados