1. Dois móveis encontram-se sobre a mesma vertical a certa distância um do outro. Abandona-se o de cima e, no mesmo, instante lança-se outro segundo a vertical ascendente. No instante do encontro, a razão entre as velocidades do segundo e do primeiro é K. Determine a relação entre as distâncias percorridas pelos dois móveis até o instante do encontro.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que aparece e o que é pedido):
  • Dois móveis estão sobre a mesma vertical, separados por uma distância (chamarei de h).
  • No instante t=0 o móvel que está em cima é largado (abandonado), ou seja, sua velocidade inicial é nula.
  • No mesmo instante t=0 outro móvel, que está embaixo, é lançado verticalmente para cima.
  • No instante em que os dois se encontram, a razão entre as velocidades (provavelmente em valor absoluto) do segundo (o lançado para cima) e do primeiro (o largado) é igual a K. Em termos simbólicos: \dfrac{v_2}{v_1}=K.
  • O que o enunciado pede: determinar a relação entre as distâncias percorridas pelos dois móveis até o instante do encontro. Vou chamar essas distâncias de s_1 para o móvel largado (distância que ele caiu) e s_2 para o móvel lançado (distância que ele subiu).
Informações relevantes que não foram explicitadas no enunciado, mas que são usuais e serão usadas:
  • A aceleração da gravidade é constante e igual a g (direção vertical, para baixo).
  • As distâncias pedidas são os deslocamentos ao longo da vertical até o ponto de encontro (valores positivos): s_1 é quanto o de cima desceu; s_2 é quanto o de baixo subiu.

Passo 2

Definição do sistema de referência e das variáveis (muito importante para não se perder):
  • Tomar o sentido para cima como positivo (convenção usual).
  • Altura inicial do móvel de cima: y_1(0)=h.
  • Altura inicial do móvel de baixo: y_2(0)=0.
  • Velocidade inicial do móvel de cima: u_1=0 (ele é largado).
  • Velocidade inicial do móvel de baixo: u_2=u (valor positivo, para cima).
  • A aceleração é -g (porque escolhemos para cima como positivo).
  • O instante de encontro será t (o mesmo para os dois, pois foram iniciados ao mesmo tempo).
  • Distâncias percorridas até o encontro:
    • s_1 = distância que o móvel de cima desceu = y_1(0)-y_{\text{encontro}}.
    • s_2 = distância que o móvel de baixo subiu = y_{\text{encontro}}-y_2(0).
Agora lembro duas fórmulas fundamentais do movimento uniformemente acelerado (MUA) que vamos usar e explico o que significa cada símbolo:
  • Equação do deslocamento: y(t)=y(0)+u\,t+\tfrac{1}{2}a t^{2},onde y(t) é a posição no tempo t, y(0) é a posição inicial, u é a velocidade inicial e a é a aceleração.
  • Equação da velocidade: v(t)=u+a t,onde v(t) é a velocidade no instante t.
Essas fórmulas valem porque a aceleração a é constante ( a=-g aqui), e são as ferramentas básicas para problemas verticalmente acelerados pela gravidade.

Passo 3

Escrever as equações de posição dos dois móveis e impor que no encontro as posições são iguais.
Para o móvel que partiu do topo (índice 1):
y_1(t)=h+0\cdot t+\tfrac{1}{2}(-g)t^{2}=h-\tfrac{1}{2}g t^{2}.
Para o móvel lançado de baixo (índice 2):
y_2(t)=0+u t+\tfrac{1}{2}(-g)t^{2}=u t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.
No encontro y_1(t)=y_2(t). Igualando as duas expressões:
h-\tfrac{1}{2}g t^{2}=u t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.
Os termos -\tfrac{1}{2}g t^{2} cancelam dos dois lados, sobrando
h = u t.
Isto é uma conclusão simples e importante: o tempo até o encontro satisfaz
t=\dfrac{h}{u}.
(Acontece porque a contribuição comum de -\tfrac{1}{2}g t^{2} para as duas posições anula-se; física bonita: a queda e a subida têm o mesmo termo aceleracional.)

Passo 4

Expressar s_1 e s_2 em função de t e depois em termos de s_1 e s_2 somente.
  • Distância que o de cima caiu até o encontro:
    s_1 = \text{queda do 1º} = y_1(0)-y_1(t)=h-\bigl(h-\tfrac{1}{2}g t^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}g t^{2}.º
    Explicação: o móvel de cima começou em h e foi para y_1(t), logo a diferença é a distância percorrida.
  • Distância que o de baixo subiu até o encontro:
    s_2 = y_2(t)-y_2(0)=\bigl(u t-\tfrac{1}{2}g t^{2}\bigr)-0 = u t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.
Usando h=u t (do Passo 3) nota-se também que
s_2 = h - \tfrac{1}{2}g t^{2} = h - s_1.
Isto confirma que as duas distâncias somam a separação inicial:
s_1+s_2 = h.

Passo 5

Escrever as velocidades dos dois móveis no instante do encontro e formar a razão K=\dfrac{v_2}{v_1}.
Velocidades (com sinal, usando convenção cima positiva):
  • Para o móvel 1 (o largado):
    v_1 = u_1 + a t = 0 + (-g)t = -g t.
    O sinal negativo indica movimento para baixo; a magnitude da velocidade é |v_1|=g t.
  • Para o móvel 2 (o lançado para cima):
    v_2 = u_2 + a t = u - g t.
    Se u>g t então v_2>0 e ele ainda sobe; em qualquer caso o enunciado deu a razão entre as velocidades e interpretamos isso como razão entre as magnitudes. Assim, tomamos
    K=\dfrac{|v_2|}{|v_1|}=\dfrac{u - g t}{g t}.
    (Aqui estou supondo que no encontro o segundo ainda está subindo, caso contrário a fórmula com sinais muda o sinal de v_2, mas a dedução sobre as distâncias resulta na mesma relação entre magnitudes; a interpretação usual do enunciado é essa razão positiva K.)
Agora substituo u = h/t (do Passo 3) na expressão para K:
K=\dfrac{\dfrac{h}{t}-g t}{g t}=\dfrac{h - g t^{2}}{g t^{2}}.
No Passo 4 vimos que s_1=\tfrac{1}{2}g t^{2}. Então g t^{2}=2 s_1. Substituindo isso:
K=\dfrac{h - 2 s_1}{2 s_1}.
Lembro que h = s_1 + s_2. Substituindo h na expressão acima:
K=\dfrac{(s_1+s_2)-2 s_1}{2 s_1}=\dfrac{s_2 - s_1}{2 s_1}.

Passo 6

Resolver a equação obtida no passo anterior para obter a relação pedida entre s_2 e s_1.
Da igualdade
K=\dfrac{s_2 - s_1}{2 s_1}
multiplicando ambos os lados por 2 s_1:
2 K s_1 = s_2 - s_1.
Somando s_1 em ambos os lados:
s_2 = (2K+1)\,s_1.
Portanto a razão entre as distâncias é
\boxed{\dfrac{s_2}{s_1}=2K+1.}

Resposta

\dfrac{s_2}{s_1}=2K+1

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