- Dois móveis encontram-se sobre a mesma vertical a certa distância um do outro. Abandona-se o de cima e, no mesmo, instante lança-se outro segundo a vertical ascendente. No instante do encontro, a razão entre as velocidades do segundo e do primeiro é K. Determine a relação entre as distâncias percorridas pelos dois móveis até o instante do encontro.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que aparece e o que é pedido):
- Dois móveis estão sobre a mesma vertical, separados por uma distância (chamarei de
). - No instante
o móvel que está em cima é largado (abandonado), ou seja, sua velocidade inicial é nula. - No mesmo instante
outro móvel, que está embaixo, é lançado verticalmente para cima. - No instante em que os dois se encontram, a razão entre as velocidades (provavelmente em valor absoluto) do segundo (o lançado para cima) e do primeiro (o largado) é igual a
. Em termos simbólicos: . - O que o enunciado pede: determinar a relação entre as distâncias percorridas pelos dois móveis até o instante do encontro. Vou chamar essas distâncias de
para o móvel largado (distância que ele caiu) e para o móvel lançado (distância que ele subiu).
Informações relevantes que não foram explicitadas no enunciado, mas que são usuais e serão usadas:
- A aceleração da gravidade é constante e igual a
(direção vertical, para baixo). - As distâncias pedidas são os deslocamentos ao longo da vertical até o ponto de encontro (valores positivos):
é quanto o de cima desceu; é quanto o de baixo subiu.
Passo 2
Definição do sistema de referência e das variáveis (muito importante para não se perder):
- Tomar o sentido para cima como positivo (convenção usual).
- Altura inicial do móvel de cima:
. - Altura inicial do móvel de baixo:
. - Velocidade inicial do móvel de cima:
(ele é largado). - Velocidade inicial do móvel de baixo:
(valor positivo, para cima). - A aceleração é
(porque escolhemos para cima como positivo). - O instante de encontro será
(o mesmo para os dois, pois foram iniciados ao mesmo tempo). - Distâncias percorridas até o encontro:
-
= distância que o móvel de cima desceu = . -
= distância que o móvel de baixo subiu = .
-
Agora lembro duas fórmulas fundamentais do movimento uniformemente acelerado (MUA) que vamos usar e explico o que significa cada símbolo:
- Equação do deslocamento:
onde é a posição no tempo , é a posição inicial, é a velocidade inicial e é a aceleração. - Equação da velocidade:
onde é a velocidade no instante .
Essas fórmulas valem porque a aceleração
é constante (
aqui), e são as ferramentas básicas para problemas verticalmente acelerados pela gravidade.
Passo 3
Escrever as equações de posição dos dois móveis e impor que no encontro as posições são iguais.
Para o móvel que partiu do topo (índice 1):
Para o móvel lançado de baixo (índice 2):
No encontro
. Igualando as duas expressões:
Os termos
cancelam dos dois lados, sobrando
Isto é uma conclusão simples e importante: o tempo até o encontro satisfaz
(Acontece porque a contribuição comum de
para as duas posições anula-se; física bonita: a queda e a subida têm o mesmo termo aceleracional.)
Passo 4
Expressar
e
em função de
e depois em termos de
e
somente.
-
Distância que o de cima caiu até o encontro:Explicação: o móvel de cima começou em
e foi para , logo a diferença é a distância percorrida. -
Distância que o de baixo subiu até o encontro:
Usando
(do Passo 3) nota-se também que
Isto confirma que as duas distâncias somam a separação inicial:
Passo 5
Escrever as velocidades dos dois móveis no instante do encontro e formar a razão
.
Velocidades (com sinal, usando convenção cima positiva):
-
Para o móvel 1 (o largado):O sinal negativo indica movimento para baixo; a magnitude da velocidade é
. -
Para o móvel 2 (o lançado para cima):Se
então e ele ainda sobe; em qualquer caso o enunciado deu a razão entre as velocidades e interpretamos isso como razão entre as magnitudes. Assim, tomamos (Aqui estou supondo que no encontro o segundo ainda está subindo, caso contrário a fórmula com sinais muda o sinal de, mas a dedução sobre as distâncias resulta na mesma relação entre magnitudes; a interpretação usual do enunciado é essa razão positiva .)
Agora substituo
(do Passo 3) na expressão para
:
No Passo 4 vimos que
. Então
. Substituindo isso:
Lembro que
. Substituindo
na expressão acima:
Passo 6
Resolver a equação obtida no passo anterior para obter a relação pedida entre
e
.
Da igualdade
multiplicando ambos os lados por
:
Somando
em ambos os lados:
Portanto a razão entre as distâncias é