Um corpo desloca-se em linha reta, de modo que no instante t=2,3 s encontrava-se na posição s=12,8 m e no instante t=5,1 s encontrava-se na posição s=3,2 m. Pergunta-se:
É possível medir a aceleração do corpo e, caso positivo, qual o valor desta aceleração?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que se move em linha reta e sabemos a posição dele em dois instantes diferentes:
  • No tempo $ t = 2,3 $ segundos, a posição é $ s = 12,8 $ metros.
  • No tempo $ t = 5,1 $ segundos, a posição é $ s = 3,2 $ metros.
A pergunta é: É possível medir a aceleração desse corpo? Se sim, qual é o valor dessa aceleração?
Pra resolver isso, vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que envolvem posição, velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação que relaciona a posição $ s $, o tempo $ t $, a velocidade inicial $ v_0 $ e a aceleração $ a $ no MRUA:
s
Onde:
  • $ s(t) $ é a posição no tempo $ t $.
  • $ s_0 $ é a posição inicial.
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial.
  • $ a $ é a aceleração.
Como temos duas posições em dois tempos diferentes, podemos montar duas equações usando essa fórmula.

Passo 3

Vamos chamar as duas situações de Equação 1 e Equação 2:
Equação 1 (quando $ t = 2,3 $ s e $ s = 12,8 $ m):
t = 2,3
Equação 2 (quando $ t = 5,1 $ s e $ s = 3,2 $ m):
s = 12,8
Agora, temos um sistema com duas equações e três incógnitas ($ s_0 $, $ v_0 $ e $ a $). Mas como queremos encontrar a aceleração $ a $, podemos resolver para ela eliminando $ s_0 $ e $ v_0 $.

Passo 4

Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ s_0 $:
s0
Simplificando:
3,2 - 12,8 = (s0 + v0 times 5,1 + 12 a times 5,1^2) - (s0 + v0 times 2,3 + 12 a times 2,3^2)
Calculando os termos:
-9,6 = v0 (5,1 - 2,3) + 12 a (5,1^2 - 2,3^2)
-9,6 = v0 (2,8) + 12 a (26,01 - 5,29)
-9,6 = 2,8 v0 + 12 a (20,72)

Passo 5

Agora, temos uma relação entre $ v_0 $ e $ a $:
v0
Para resolver isso, precisamos de mais uma equação. Podemos usar a Equação 1 isolando $ s_0 $:
a
Mas como não precisamos necessariamente de $ s_0 $ para encontrar $ a $, vamos assumir que o movimento começou a partir de $ t = 0 $ com $ s_0 = 0 $ para simplificar. Isso nos permite resolver para $ a $.

Passo 6

Assumindo $ s_0 = 0 $, a Equação 1 fica:
s0 = 0
12,8 = v0 times 2,3 + 12 a times 2,3^2
Agora, temos duas equações:
  1. $ 2,8 v_0 + 10,36 a = -9,6 $
  2. $ 2,3 v_0 + 2,645 a = 12,8 $
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar o valor de $ a $.

Passo 7

Multiplicamos a Equação 2 por $ \frac{2,8}{2,3} $ para igualar os coeficientes de $ v_0 $:
2,82,3
Simplificando:
v0
Agora, temos:
  1. $ 2,8 v_0 + 10,36 a = -9,6 $
  2. $ 2,8 v_0 + 3,24 a = 15,65 $
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
2,82,3 times (2,3 v0 + 2,645 a) = 2,82,3 times 12,8
2,8 v0 + 3,24 a approx 15,65
2,8 v0 + 10,36 a = -9,6

Resposta

Sim, é possível medir a aceleração do corpo. A aceleração é aproximadamente $ -3,55 , m/s^2 $.

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