Um corpo desloca-se em linha reta, de modo que no instante
encontrava-se na posição
e no instante
encontrava-se na posição
. Pergunta-se:
É possível medir a aceleração do corpo e, caso positivo, qual o valor desta aceleração?
É possível medir a aceleração do corpo e, caso positivo, qual o valor desta aceleração?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que se move em linha reta e sabemos a posição dele em dois instantes diferentes:
- No tempo $ t = 2,3 $ segundos, a posição é $ s = 12,8 $ metros.
- No tempo $ t = 5,1 $ segundos, a posição é $ s = 3,2 $ metros.
A pergunta é: É possível medir a aceleração desse corpo? Se sim, qual é o valor dessa aceleração?
Pra resolver isso, vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que envolvem posição, velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação que relaciona a posição $ s $, o tempo $ t $, a velocidade inicial $ v_0 $ e a aceleração $ a $ no MRUA:
Onde:
- $ s(t) $ é a posição no tempo $ t $.
- $ s_0 $ é a posição inicial.
- $ v_0 $ é a velocidade inicial.
- $ a $ é a aceleração.
Como temos duas posições em dois tempos diferentes, podemos montar duas equações usando essa fórmula.
Passo 3
Vamos chamar as duas situações de Equação 1 e Equação 2:
Equação 1 (quando $ t = 2,3 $ s e $ s = 12,8 $ m):
Equação 2 (quando $ t = 5,1 $ s e $ s = 3,2 $ m):
Agora, temos um sistema com duas equações e três incógnitas ($ s_0 $, $ v_0 $ e $ a $). Mas como queremos encontrar a aceleração $ a $, podemos resolver para ela eliminando $ s_0 $ e $ v_0 $.
Passo 4
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ s_0 $:
Simplificando:
Calculando os termos:
Passo 5
Agora, temos uma relação entre $ v_0 $ e $ a $:
Para resolver isso, precisamos de mais uma equação. Podemos usar a Equação 1 isolando $ s_0 $:
Mas como não precisamos necessariamente de $ s_0 $ para encontrar $ a $, vamos assumir que o movimento começou a partir de $ t = 0 $ com $ s_0 = 0 $ para simplificar. Isso nos permite resolver para $ a $.
Passo 6
Assumindo $ s_0 = 0 $, a Equação 1 fica:
Agora, temos duas equações:
- $ 2,8 v_0 + 10,36 a = -9,6 $
- $ 2,3 v_0 + 2,645 a = 12,8 $
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar o valor de $ a $.
Passo 7
Multiplicamos a Equação 2 por $ \frac{2,8}{2,3} $ para igualar os coeficientes de $ v_0 $:
Simplificando:
Agora, temos:
- $ 2,8 v_0 + 10,36 a = -9,6 $
- $ 2,8 v_0 + 3,24 a = 15,65 $
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Resposta
Sim, é possível medir a aceleração do corpo. A aceleração é aproximadamente $ -3,55 , m/s^2 $.