As equações abaixo são homogêneas. Use o método do Exercício P3. para resolvê-las.
d yd x=x^3+3 y^22 x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx=x^3+3y^22xy,
e pede a solução geral. Vamos usar o truque de observar que, ao multiplicar por 2y, aparece 2y,dy/dx, que é exatamente a derivada de y^2. Com isso fazemos a substituição u=y^2 para reduzir a equação a uma equação linear em u.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por 2y temos
2ydydx=x^3+3y^2x
ou seja
2ydydx=x^2+3y^2x
Agora definimos
u=y^2Longrightarrowdudx=2ydydx,
de modo que a equação passa a ser
dudx=x^2+3ux

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de equação linear em u:
dudx-3x,u=x^2

Passo 4

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral -tfrac3x,dxr)=x^-3
Multiplicando toda a equação por x^-3 obtemos
x^-3dudx-3x^-4u=;x^-1,
que é equivalente a
ddxl(u,x^-3r)=x^-1

Passo 5

Integramos em relação a x:
u,x^-3=integral x^-1,dx=lnlvert xrvert + C Longrightarrow u=x^3l(lnlvert xrvert + Cr)

Passo 6

Voltando à variável original y, como u=y^2, ficamos com
y^2=x^3l(lnlvert xrvert + Cr)

Resposta

y^2=x^3l(lnlvert xrvert + Cr)

Exercícios relacionados