Um corpo executa um movimento harmônico simples de tal forma que a posição
do corpo é dada em função do tempo pela seguinte equação:
onde
é dado em metros e
em segundos. Determine no SI (Sistema Internacional):
(a) frequência angular;
(b) a constante de fase inicial;
© a frequência da oscilação;
(d) o período;
(e) a amplitude;
(f) a posição do corpo no instante
;
(g) a expressão da velocidade em função do tempo;
(h) a velocidade máxima.
- *Envie email para edenizes@utfpr.edu.br para reportar erros.
(a) frequência angular;
(b) a constante de fase inicial;
© a frequência da oscilação;
(d) o período;
(e) a amplitude;
(f) a posição do corpo no instante
(g) a expressão da velocidade em função do tempo;
(h) a velocidade máxima.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma equação que descreve a posição de um corpo em função do tempo:
O que a gente precisa encontrar aqui são várias características desse movimento, de (a) a (h), como frequência angular, constante de fase, frequência da oscilação, período, amplitude, posição no instante $ t = 2, s $, expressão da velocidade e velocidade máxima.
Passo 2
Vamos começar com a frequência angular. A frequência angular $ \omega $ está dentro do argumento do cosseno na função $ x(t) $. A equação geral do MHS é:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
Então, a frequência angular é $ 7\pi $ radianos por segundo.
Passo 3
Agora, a constante de fase inicial $ \phi $ é o termo que está adicionando dentro do cosseno. Na nossa equação:
Portanto, a constante de fase inicial é $ \frac{\pi}{3} $ radianos.
Passo 4
Vamos para a frequência da oscilação $ f $. A relação entre frequência angular $ \omega $ e frequência $ f $ é:
Já sabemos que $ \omega = 7\pi $, então:
Assim, a frequência da oscilação é $ \frac{7}{2} $ hertz.
Passo 5
O período $ T $ é o inverso da frequência:
Então, o período do movimento é $ \frac{2}{7} $ segundos.
Passo 6
A amplitude $ A $ é o coeficiente que multiplica a função cosseno na equação do MHS. Na nossa equação:
Logo, a amplitude é 0,15 metros.
Passo 7
Para encontrar a posição do corpo no instante $ t = 2,s $, basta substituir $ t = 2 $ na equação original:
Sabendo que $ \cos(\theta + 2\pi k) = \cos\theta $, então:
Portanto:
Passo 8
Vamos achar a expressão da velocidade em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Substituindo os valores que temos:
Passo 9
Por fim, a velocidade máxima $ v_{max} $ ocorre quando o seno é igual a 1:
Resposta
(a) Frequência angular: $ \omega = 7\pi , rad/s $
(b) Constante de fase inicial: $ \phi = \frac{\pi}{3} , rad $
© Frequência da oscilação: $ f = \frac{7}{2} , Hz $
(d) Período: $ T = \frac{2}{7} , s $
(e) Amplitude: $ A = 0{,}15 , m $
(f) Posição no instante $ t = 2,s $: $ x(2) = 0{,}075 , m $
(g) Expressão da velocidade em função do tempo:
(h) Velocidade máxima: $ v_{max} = 1{,}05\pi , m/s $