Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}x^{3} y^{\prime}+4 x^{2} y=e^{-x}, \\\ y(-1)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} x^{3} y^{\prime}+4 x^{2} y=e^{-x},\\[4pt] y(-1)=0. \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve y'(x) e y(x).
  • Há um termo x^{3} multiplicando y', logo nota-se que x=0 é ponto singular (não se pode dividir por zero).
  • A condição inicial é em x=-1, que é diferente de zero, portanto o problema de valor inicial é bem formulado para x=-1.
    O objetivo é encontrar explicitamente y(x) que satisfaça a equação para x\neq0 e a condição y(-1)=0.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por x^{3} (válido para x\neq0) obtemos
y' + \frac{4}{x}\,y = \frac{e^{-x}}{x^{3}}.
Aqui identificamos:
  • p(x)=\dfrac{4}{x},
  • q(x)=\dfrac{e^{-x}}{x^{3}}.
    Explicação do método (integrating factor): para resolver uma equação da forma y'+p(x)y=q(x) usa-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big). Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo no derivado de \mu(x)y:
(\mu y)'=\mu q.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{4}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(4\ln|x|\big)=|x|^{4}.
Como |x|^{4}=x^{4} para todo x, podemos usar \mu(x)=x^{4} (lembrando sempre que x\neq0). Multiplicando a equação por x^{4} temos
x^{4}y' + 4x^{3}y = x e^{-x}.
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada de x^{4}y, isto é,
\big(x^{4}y\big)' = x e^{-x}.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{4}y = \int x e^{-x}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora calcular \int x e^{-x}\,dx por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=x e dv=e^{-x}dx. Então du=dx e v=-e^{-x}. Aplicando:
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.
Portanto
x^{4}y = -(x+1)e^{-x} + C.
Isolando y:
y(x)=\frac{-(x+1)e^{-x} + C}{x^{4}}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(-1)=0 para determinar C. Substituindo x=-1:
y(-1)=\frac{-((-1)+1)e^{-(-1)} + C}{(-1)^{4}} = \frac{-(0)\,e^{1} + C}{1} = C.
A condição y(-1)=0 C=0.

Passo 6

Portanto a solução do problema de valor inicial, válida para x\neq0 e que satisfaz y(-1)=0, é
y(x)=-\frac{(x+1)e^{-x}}{x^{4}}.
Observação final: a solução está definida para x\neq0. Como a condição inicial foi dada em x=-1, a solução obtida é a única solução que passa por esse ponto no intervalo que não contém 0.

Resposta

y(x)=-\frac{(x+1)e^{-x}}{x^{4}}

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