Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
Informações relevantes dadas:
- A equação envolve
e . - Há um termo
multiplicando , logo nota-se que é ponto singular (não se pode dividir por zero). - A condição inicial é em
, que é diferente de zero, portanto o problema de valor inicial é bem formulado para .
O objetivo é encontrar explicitamenteque satisfaça a equação para e a condição .]
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(válido para
) obtemos
Aqui identificamos:
-
, -
.
Explicação do método (integrating factor): para resolver uma equação da formausa-se o fator integrante . Multiplicar a equação por transforma o lado esquerdo no derivado de :
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Como
para todo
, podemos usar
(lembrando sempre que
). Multiplicando a equação por
temos
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada de
, isto é,
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora calcular
por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Portanto
Isolando
:
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
A condição
dá
.
Passo 6
Portanto a solução do problema de valor inicial, válida para
e que satisfaz
, é
Observação final: a solução está definida para
. Como a condição inicial foi dada em
, a solução obtida é a única solução que passa por esse ponto no intervalo que não contém
.