Um corpo em forma de cunha (massa 4 M) está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, quando um outro (massa M) o atinge horizontalmente com velocidade V0, numa colisão elástica. Após a colisão, o corpo de massa 4 M se movimenta horizontalmente com nelocidade igual a V05.
Qual o valor da componente vertical da velocidade do corpo de massa M imediatamente após a colisão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos dois corpos: um corpo em forma de cunha com massa 4M que está parado sobre uma superfície sem atrito, e outro corpo com massa M que o atinge horizontalmente com velocidade V0. A colisão entre eles é elástica, ou seja, tanto a energia cinética quanto o momento são conservados. Após a colisão, sabemos que a cunha passa a se mover com velocidade V05. Nosso objetivo é descobrir qual é a componente vertical da velocidade do corpo de massa M logo após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em uma colisão elástica, tanto o momento linear quanto a energia cinética são conservados. Isso significa que a soma dos momentos antes da colisão é igual à soma dos momentos depois da colisão, e o mesmo vale para as energias cinéticas.

Passo 3

Vamos analisar o momento linear. Como a superfície é sem atrito, a cunha só pode se mover na horizontal. Então, o momento total na horizontal antes da colisão é apenas o do corpo de massa M.
A fórmula do momento linear é:
p = m cdot v
Antes da colisão:
ptotal inicial = M cdot V0
Após a colisão, o corpo 4M se move com velocidade V05, e o corpo M tem velocidade com componentes horizontal e vertical que vamos chamar de vMx e vMy, respectivamente.
Então, o momento total após a colisão é:
ptotal final = 4M cdot V05 + M cdot vMx
Como a colisão é elástica e a superfície é sem atrito, não há força externa na horizontal, então:
M cdot V0 = 4M cdot V05 + M cdot vMx

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar vMx:
Primeiro, simplificamos:
M cdot V0 = 4M cdot V05 + M cdot vMx
Subtraindo 4M cdot V05 de ambos os lados:
M cdot V0 - 4M cdot V05 = M cdot vMx
Fazendo as contas:
(1 - 45) M cdot V0 = M cdot vMx 15 M cdot V0 = M cdot vMx
Dividindo ambos os lados por M:
V05 = vMx
Então, a componente horizontal da velocidade do corpo M após a colisão é V05.

Passo 5

Agora, vamos usar a conservação da energia cinética. A energia cinética total antes da colisão deve ser igual à energia cinética total depois da colisão.
A fórmula da energia cinética é:
KE = 12 m v^2
Antes da colisão:
KEtotal inicial = 12 M V0^2
Após a colisão:
KEtotal final = 12 cdot 4M cdot (V05)^2 + 12 M cdot (vMx^2 + vMy^2)
Substituindo vMx = V05:
KEtotal final = 12 cdot 4M cdot V0^225 + 12 M cdot (V05)^2 + 12 M cdot vMy^2

Passo 6

Vamos simplificar a equação da energia cinética:
Primeiro, calculamos os termos:
12 cdot 4M cdot V0^225 = 4M V0^250 = 2M V0^225
12 M cdot V0^225 = M V0^250
Somando esses termos:
2M V0^225 + M V0^250 = 4M V0^250 + M V0^250 = 5M V0^250 = M V0^210
Então, a energia cinética total após a colisão fica:
KEtotal final = M V0^210 + 12 M vMy^2
Igualando a energia inicial e final:
12 M V0^2 = M V0^210 + 12 M vMy^2

Passo 7

Vamos resolver para vMy:
Primeiro, multiplicamos todos os termos por 10 para eliminar as frações:
5 M V0^2 = M V0^2 + 5 M vMy^2
Subtraindo M V0^2 de ambos os lados:
4 M V0^2 = 5 M vMy^2
Dividindo ambos os lados por 5M:
4 V0^25 = vMy^2
Tirando a raiz quadrada:
vMy = raiz4 V0^25 = 2 V0raiz5 = 2 V0 raiz55

Resposta

A componente vertical da velocidade do corpo de massa M imediatamente após a colisão é vMy = 2 V0 raiz55.

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