Dois veículos, A (massa M ) e B (massa 32 M ), que estão viajando respectivamente para o leste e para o sul, chocam-se num cruzamento e ficam presos um ao outro. Antes do choque, o veículo A movia-se com velocidade V0 e B com velocidade 12 V0. Escolha um sistema de coordenadas (sugestão: coloque o eixo x apontanto para leste e o eixo y apontanto para o norte), e calcule, em termos de M e V0: o módulo, a direção e o sentido da velocidade dos veículos engavetados imediatamente após o choque. a energia cinética total do sistema composto pelos dois veículos imediatamente antes e após a colisão.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros, o veículo A com massa M e o veículo B com massa 32 M. O carro A está indo para o leste com velocidade V0, e o carro B está indo para o sul com velocidade 12 V0. Eles colidem num cruzamento e ficam presos juntos. Nosso objetivo é calcular:
  1. O módulo, a direção e o sentido da velocidade dos carros juntos imediatamente após a colisão.
  2. A energia cinética total do sistema antes e depois da colisão.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Conservação do Momento e a fórmula da Energia Cinética. Vamos precisar decompor os vetores de velocidade nas direções leste ( x) e norte ( y).

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Vamos colocar o eixo x apontando para o leste e o eixo y apontando para o norte. Assim, o movimento para o leste é positivo no x e o movimento para o sul será negativo no y.

Passo 3

Vamos calcular o momento de cada veículo antes da colisão.
Para o veículo A:
  • Massa: M
  • Velocidade: V0 para o leste ( x)
  • Momento: pA = M cdot V0 i
Para o veículo B:
  • Massa: 32 M
  • Velocidade: 12 V0 para o sul ( -y)
  • Momento: pB = 32 M cdot (12 V0) (-j) = -34 M V0 j

Passo 4

Agora, somamos os momentos dos dois veículos para encontrar o momento total antes da colisão.
ptotal = pA + pB = M V0 i - 34 M V0 j

Passo 5

Após a colisão, os veículos ficam presos juntos, formando um único sistema com massa total:
Mtotal = M + 32 M = 52 M
Vamos chamar a velocidade após a colisão de V = Vx i + Vy j.

Passo 6

Aplicamos a Lei da Conservação do Momento, que diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total após a colisão.
ptotal = Mtotal cdot V
Então:
M V0 i - 34 M V0 j = 52 M (Vx i + Vy j)

Passo 7

Vamos separar as componentes x e y:
Para o eixo x:
M V0 = 52 M Vx implies Vx = 25 V0
Para o eixo y:
- 34 M V0 = 52 M Vy implies Vy = -310 V0

Passo 8

Agora temos as componentes da velocidade após a colisão:
V = 25 V0 i - 310 V0 j
Para encontrar o módulo dessa velocidade, usamos o teorema de Pitágoras:
|V| = raiz(25 V0)^2 + (-310 V0)^2 = raiz425 V0^2 + 9100 V0^2 = raiz25100 V0^2 = 510 V0 = 12 V0

Passo 9

Para achar a direção, calculamos o ângulo theta que a velocidade faz com o eixo x (leste). Usamos a tangente:
tan theta = VyVx = -310 V025 V0 = -310 cdot 52 = -34
Então:
theta = tan^-1(-34) approx -36.87^circ
Isso significa que a direção está 36.87^circ abaixo do eixo x, ou seja, 36.87^circ ao sul do leste.

Passo 10

Agora, vamos calcular a energia cinética total antes e depois da colisão.
Antes da colisão:
Energia cinética do veículo A:
ECA = 12 M V0^2
Energia cinética do veículo B:
ECB = 12 cdot 32 M cdot (12 V0)^2 = 12 cdot 32 M cdot 14 V0^2 = 316 M V0^2
Energia cinética total antes:
ECtotal antes = 12 M V0^2 + 316 M V0^2 = 816 M V0^2 + 316 M V0^2 = 1116 M V0^2

Passo 11

Após a colisão, os veículos estão juntos com velocidade 12 V0. Então:
ECtotal após = 12 cdot 52 M cdot (12 V0)^2 = 12 cdot 52 M cdot 14 V0^2 = 516 M V0^2 ó

Resposta

Após a colisão, os veículos engavetados se movem com uma velocidade de módulo 12 V0, direcionada 36.87^circ ao sul do leste. A energia cinética total do sistema era 1116 M V0^2 antes da colisão e passa a ser 516 M V0^2 após a colisão.

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