Uma esfera condutora, de raio
, contém uma densidade volumétrica
(positiva) de carga uniformemente distribuída. Qual o campo elétrico a uma distância r do eixo da esfera.
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora com raio $ R $ e uma densidade volumétrica de carga $ \rho $ distribuída de forma uniforme dentro dela. Precisamos descobrir qual é o campo elétrico a uma distância $ r $ do centro da esfera, considerando dois casos:
a) Quando $ r > R $
b) Quando $ r < R $
a) Quando $ r > R $
b) Quando $ r < R $
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Lei de Gauss e de campos elétricos em distribuições de carga simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_0 $:
Essa lei é muito útil para calcular campos elétricos devido a distribuições de carga com certas simetrias, como esferas.
Passo 3
Vamos começar com o caso (a) onde $ r > R $. Aqui, queremos encontrar o campo elétrico fora da esfera.
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, a carga total $ Q $ pode ser calculada multiplicando a densidade de carga $ \rho $ pelo volume da esfera:
Para $ r > R $, podemos tratar toda a carga como se estivesse concentrada no centro da esfera devido à simetria.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r > R $. O campo elétrico $ E $ é constante em magnitude e radialmente simétrico, então o fluxo é:
Igualando à carga total dividida por $ \varepsilon_0 $:
Passo 5
Resolvendo para $ E $:
Substituímos $ Q $ pela expressão que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos para o caso (b) onde $ r < R $. Aqui, queremos encontrar o campo elétrico dentro da esfera.
A carga dentro da superfície gaussiana de raio $ r $ é apenas uma parte da carga total, proporcional ao volume dessa superfície:
Aplicando novamente a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana de raio $ r < R $:
Passo 7
Resolvendo para $ E $:
Resposta
a) Para $ r > R $:
b) Para $ r < R $: