Um corpo homogêneo de massa específica rho e forma esférica é colocado num recipiente contendo um líquido de massa específica 1 g / cm^3. Abandonando-se o corpo, cujo diâmetro é de 10 cm , determine rho sabendo que a altura máxima acima da superfície do líquido alcançada pelo corpo é 5 cm . (R: rho=0 , 5 g / c m^3 )

Passo 1

O enunciado trata de um corpo esférico de raio
R=102=5 cm
e massa específica rho, que flutua num líquido de massa específica
rhof=1 g/cm^3. A esfera “sai” do líquido de forma que a altura acima da superfície é
hrm acima=5 cm
Para que a esfera esteja em equilíbrio (flutue), vale o Princípio de Arquimedes: o peso do corpo é igual ao peso do volume de líquido deslocado. Para aplicar, vamos precisar da fórmula do volume de um segmento esférico submetido até uma certa altura.

Passo 2

Seja h a altura submersa da esfera medida a partir do topo (ou seja, a parte dentro do líquido). Como a esfera tem diâmetro 2R=10 cm e emerge 5 cm, a parte submersa também é
h=2R - hrm acima=10 - 5=5 cm
O volume total da esfera é
V=43pi R^3
e o volume submerso (segmento esférico de altura h) é
Vrm sub =pi,h^2,(3R - h)3

Passo 3

Escrevendo o equilíbrio de forças (peso = empuxo):
rho,V,g ;=;rhof,Vrm sub,g
Como g cancela e rhof=1, obtemos
rho,V = Vrm sub Longrightarrow rho = Vrm subV

Passo 4

Calculamos primeiro V e Vrm sub com R=5 cm e h=5 cm:
V = 43pi (5)^3 = 500pi3, Vrm sub = pi,(5)^2,(3cdot5-5)3 = picdot25cdot103 = 250pi3
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rho = Vrm subV = tfrac250pi3tfrac500pi3 = 250500 = 0,5;g/cm^3

Resposta

rho=0,5;g/cm^3

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