In each of Problems 13 and 14 solve the given initial value problem and determine at least approximately where the solution is valid.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, e vamos usar o teste de exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial tal que
.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, e vamos usar o teste de exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial
Passo 2
Verificamos se a equação é exata. Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função
tal que
Integrando
em relação a
, obtemos
onde
é uma função de
a determinar.
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
Assim a função potencial é
A condição
dá a solução implícita
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
, temos
Logo a solução implícita final é
Passo 6
Para obter
em função de
, reorganizamos como uma equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
Para decidir o sinal, exigimos
. Em
o discriminante vale
, então
só dá zero se escolhermos o sinal “–”. Logo
Passo 7
O domínio de validade da solução exige que o radicando seja não negativo:
Analisando numericamente,
e
muda de sinal em torno de
.
Portanto a solução que passa por é válida para
Portanto a solução que passa por