In each of Problems 13 and 14 solve the given initial value problem and determine at least approximately where the solution is valid.
(9 x^2+y-1) d x-(4 y-x) d y=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(9x^2 + y - 1),dx ;-; (4y - x),dy = 0
com a condição inicial y(1)=0.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, e vamos usar o teste de exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata. Definimos
M(x,y) = 9x^2 + y - 1, N(x,y) = -l(4y - xr) = x - 4y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y), partial Fpartial y = N(x,y)
Integrando M em relação a x, obtemos
F(x,y) = integral (9x^2 + y - 1),dx = 3x^3 + x,y - x + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Agora impomos partial F/partial y = N(x,y). Calculamos
partial Fpartial y = x + h'(y) = x - 4y Longrightarrow h'(y) = -4y Longrightarrow h(y) = -2y^2 + C1
Assim a função potencial é
F(x,y) = 3x^3 + x,y - x ;-; 2y^2
A condição dF=0 dá a solução implícita
3x^3 + x,y - x - 2y^2 = C

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y=0 em F(x,y)=C, temos
3cdot1^3 + 1cdot0 - 1 - 2cdot0^2 = C Longrightarrow 3 - 1 = C Longrightarrow C = 2
Logo a solução implícita final é
3x^3 + x,y - x - 2y^2 = 2

Passo 6

Para obter y em função de x, reorganizamos como uma equação quadrática em y:
-2y^2 + x,y + (3x^3 - x - 2) = 0 Longrightarrow 2y^2 - x,y - (3x^3 - x - 2) = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
y = x pm raizx^2 -4cdot2cdotl[-(3x^3 - x - 2)r]2cdot2 = x pm raiz24x^3 + x^2 -8x -164
Para decidir o sinal, exigimos y(1)=0. Em x=1 o discriminante vale 1, então
y(1) = 1 pm 14
só dá zero se escolhermos o sinal “–”. Logo
boxedy(x) = x - raiz24x^3 + x^2 -8x -164

Passo 7

O domínio de validade da solução exige que o radicando seja não negativo:
De<a(x) = 24x^3 + x^2 -8x -16 >= 0
Analisando numericamente, De<a(1)=1>0 e De<a(x) muda de sinal em torno de xapprox0,99.
Portanto a solução que passa por (1,0) é válida para
x >rsim 0,99

Resposta

y(x) = x - raiz24x^3 + x^2 -8x -164, válida para x>rsim0,99 á

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