O corpo humano perde para o ambiente uma potência média de 100,0 \mathrm{~W} na forma de calor. Esse valor fica 30 vezes maior quando o corpo está submerso em água, podendo causar hipotermia. Os sintomas da hipotermia vão desde tremores leves, mãos e pés dormentes, cansaço excessivo e lentidão nos movimentos. Esses sintomas se iniciam quando a temperatura corporal fica inferior a 35^{\circ} \mathrm{C} e pode ser fatal a partir de 21^{\circ} \mathrm{C}. Determine o intervalo de tempo em que uma pessoa de 75 kg , inicialmente com temperatura de 37^{\circ} \mathrm{C}, passa a ter os primeiros sintomas de hipotermia quando estiver submersa em água.
(Considere o calor específico do corpo humano 1,1 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{cal}=4,0 \mathrm{~J}.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Potência média perdida pelo corpo no ar: 100{,}0\\ \mathrm{W}.
    • Quando submerso, essa potência fica 30 vezes maior.
    • Massa da pessoa: m=75\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura inicial: 37^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de início dos primeiros sintomas: 35^\circ\mathrm{C}.
    • Calor específico do corpo: c=1{,}1\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
    • Conversão dada: 1{,}0\\ \mathrm{cal}=4{,}0\\ \mathrm{J}.
  • O enunciado pede: determinar o intervalo de tempo para que a pessoa, submersa na água, atinja 35^\circ\mathrm{C} partindo de 37^\circ\mathrm{C}. Ou seja, quanto tempo leva para perder a energia térmica necessária a causar uma redução de temperatura de 2^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar.
  • Calor necessário para reduzir a temperatura de um corpo é dado pela fórmula
Q = m\,c\,\Delta T,
onde
  • Q é a energia térmica perdida (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa do corpo (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • c é o calor específico (em \mathrm{J}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}), aqui \Delta T = T_{\text{inicial}}-T_{\text{final}}.
Explicação curta e prática: o calor específico indica quanta energia é necessária para mudar em 1^\circ\mathrm{C} a temperatura de 1\\ \mathrm{kg} da substância. Multiplicando pelo número de quilogramas e pela variação de temperatura obtemos a energia total a ser perdida.
Primeiro precisamos colocar c em unidades compatíveis (Joule por quilograma por grau Celsius). O enunciado dá c=1{,}1\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}. Usando 1{,}0\\ \mathrm{cal}=4{,}0\\ \mathrm{J} e lembrando que 1\\ \mathrm{g}=0{,}001\\ \mathrm{kg}, fazemos a conversão:
  • Converter para \mathrm{J}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}:
c = 1{,}1\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}\times 4{,}0\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}} = 4{,}4\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
  • Converter para \mathrm{J}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C} (multiplica por 1000 porque 1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}):
c = 4{,}4\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}\times 1000 = 4400\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C}.
Agora a variação de temperatura é
\Delta T = 37^\circ\mathrm{C}-35^\circ\mathrm{C}=2^\circ\mathrm{C}.
Calculemos a energia Q que deve ser perdida:
Q = m\,c\,\Delta T = 75\\ \mathrm{kg}\times 4400\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C}}\times 2^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Fazendo as contas do Q passo a passo:
  • Primeiro c\,\Delta T = 4400\times 2 = 8800\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}.
  • Então Q = 75\times 8800 = 660000\\ \mathrm{J}.
Portanto a pessoa precisa perder Q=660000\\ \mathrm{J} para que sua temperatura caia de 37^\circ\mathrm{C} para 35^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Relação entre potência e tempo.
  • Potência P é a taxa de perda de energia: P=\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}. Para perda de energia constante, o tempo necessário é
t = \frac{Q}{P}.
  • A potência de perda quando submerso é 30 vezes a potência no ar:
P = 30\times 100{,}0\\ \mathrm{W} = 3000\\ \mathrm{W}.
Lembre-se: 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}.
Agora calculamos o tempo:
t = \frac{660000\\ \mathrm{J}}{3000\\ \mathrm{J/s}} = 220\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação e conversão para unidades mais amigáveis.
  • 220\\ \mathrm{s} em minutos:
220\\ \mathrm{s} = 3\\ \text{minutos}\\\ 40\\ \text{segundos},
pois 3\times 60 + 40 = 180 + 40 = 220.
Pequeno comentário de ânimo: levar apenas cerca de 3 minutos e meio para começar a ter sintomas é rápido — por isso hipotermia em água é perigosa. Fique tranquilo, agora você sabe como fazer essa conta na prova: converte c, calcula Q=mc\Delta T, e divide por P.

Resposta

220\\ \mathrm{s} (aproximadamente 3\\ \text{min}\\\ 40\\ \text{s})

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