Um corpo indeformável em repouso é atingido por um projétil metálico com a velocidade de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que, devido ao impacto, 1 / 3 da energia cinética é absorvida pelo corpo e o restante transforma-se em calor, fundindo parcialmente o projétil. O metal tem ponto de fusão \mathrm{T}_{\mathrm{f}}=300^{\circ} \mathrm{C}, calor específico \mathrm{c}=0,02 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{c} e calor latente de fusão \mathrm{L}_{\mathrm{f}}=6 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. Considerando 1 cal =4 \mathrm{~J}, calcule a fração x da massa total do projétil metálico que se funde.

Passo 1

O enunciado pede a fração x da massa total do projétil que se funde após o impacto. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • Velocidade inicial do projétil: v=300\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura inicial do projétil: 0^\circ\mathrm{C}.
  • Fração da energia cinética absorvida pelo corpo (não vira calor no projétil): 1/3. Logo, a fração que vira calor no projétil é 2/3.
  • Ponto de fusão: T_f=300^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do metal: c=0{,}02\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
  • Calor latente de fusão: L_f=6\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Conversão de unidades: 1\\ \mathrm{cal}=4\\ \mathrm{J}.
O que queremos: calcular x, a fração (entre 0 e 1) da massa total que se funde. Vou chamar a massa total do projétil de M (em kg) quando for conveniente usar a fórmula da energia cinética, e lembrar que 1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g} ao usar calores por grama.

Passo 2

Escrevendo a energia cinética inicial e a energia que se transforma em calor no projétil.
A energia cinética inicial do projétil é dada por
E_k=\tfrac{1}{2} M v^{2}.
Substituindo v=300\\ \mathrm{m/s} temos
E_k=\tfrac{1}{2}M(300)^{2}=45000\,M\quad(\mathrm{J}).
A fração que vira calor no projétil é 2/3, portanto a energia disponível como calor é
Q_{\text{disp}}=\tfrac{2}{3}E_k=\tfrac{2}{3}\cdot 45000\,M=30000\,M\quad(\mathrm{J}).
Vamos trabalhar em calorias porque c e L_f estão em \mathrm{cal}/\mathrm{g}. Usando 1\\ \mathrm{cal}=4\\ \mathrm{J} convertemos:
Q_{\text{disp}}=\frac{30000\,M}{4}=7500\,M\quad(\mathrm{cal}).
Observação: aqui M está em kg; a unidade final é cal (independente de kg), porque o fator M acompanha a energia total.

Passo 3

Agora calculamos o calor necessário para aquecer e fundir parte do projétil.
Primeiro, o calor para aquecer toda a massa de 0^\circ\mathrm{C} até T_f=300^\circ\mathrm{C}. A massa em gramas é 1000M (pois M está em kg). A fórmula do calor sensível é Q=mc\Delta T, onde:
  • m é a massa (em g),
  • c é o calor específico (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}),
  • \Delta T é T_f-0.
Então
Q_{\text{aquec}}=(1000M)\,c\,(300).
Substituindo c=0{,}02\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{aquec}}=(1000M)\cdot 0{,}02\cdot 300=1000M\cdot 6=6000\,M\quad(\mathrm{cal}).
Segundo, o calor necessário para fundir a fração x da massa (após estar à temperatura de fusão) é dado por Q_{\text{fus}}=m_{\text{fund}}L_f. A massa que se funde em gramas é 1000M\cdot x, logo
Q_{\text{fus}}=(1000M)\,x\,L_f=(1000M)\,x\cdot 6=6000\,M\,x\quad(\mathrm{cal}).
Total de calor necessário para aquecer até T_f e fundir a fração x é
Q_{\text{necess}}=Q_{\text{aquec}}+Q_{\text{fus}}=6000\,M+6000\,M\,x=6000\,M(1+x)\quad(\mathrm{cal}).

Passo 4

Agora escrevemos o balanço de energia: calor disponível = calor necessário. Assim,
7500\,M=6000\,M(1+x).
Cancelamos M (não nulo) e resolvemos para x:
7500=6000(1+x).
Dividindo por 6000:
1+x=\frac{7500}{6000}=1{,}25.
Portanto
x=1{,}25-1=0{,}25.

Passo 5

Interpretação numérica e verificação rápida (cheque por 1 kg de projétil): para M=1\\ \mathrm{kg} tínhamos E_k=45000\\ \mathrm{J}, calor disponível =30000\\ \mathrm{J}=7500\\ \mathrm{cal}. Aquecer 1000\\ \mathrm{g} de 0 a 300^\circ\mathrm{C} consome 6000\\ \mathrm{cal}, sobrando 1500\\ \mathrm{cal} para fusão. Com L_f=6\\ \mathrm{cal/g} isso funde 1500/6=250\\ \mathrm{g}, que é 250/1000=0{,}25 da massa — bate com o resultado algébrico.

Resposta

x=0{,}25

Exercícios relacionados