Questão 6: Um resistor de R=800 \Omega é conectado às placas de um capacitor carregado de capacitância C=2,00 \mu \mathrm{~F}. Imediatamente antes de a conexão ser feita, a carga sobre o capacitor é igual a 8,00 \mathrm{mC}.
(A) Qual é o valor da energia inicialmente armazenada no capacitor?
(B) Qual é o valor da carga elétrica armazenada no capacitor no instante em que o valor da energia armazenada no capacitor é metade do calculado na parte (A)?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Dados: R=800\\ \Omega, C=2,00\\ \mu\mathrm{F} e carga inicial Q_0=8,00\\ \mathrm{mC}. Perguntas: (A) qual é a energia inicialmente armazenada no capacitor? (B) qual é a carga no capacitor quando a energia armazenada for metade da do item (A)? Nada mais foi pedido (por exemplo, não pediram o instante de tempo); portanto vamos usar apenas as relações entre carga, capacitância e energia para responder.

Passo 2

Vamos lembrar e derivar a fórmula da energia armazenada num capacitor, para ficar claro de onde vem tudo. Considere acumular carga q no capacitor; a diferença de potencial entre as placas, quando a carga é q, é V=\dfrac{q}{C}. A energia infinitesimal necessária para transferir uma pequena carga dq é dW = V\,dq = \dfrac{q}{C}\,dq. Integrando desde q=0 até q=Q obtemos a energia total armazenada:
U=\int_{0}^{Q}\frac{q}{C}\,dq=\frac{1}{C}\left[\frac{q^{2}}{2}\right]_{0}^{Q}=\frac{Q^{2}}{2C}.
Aqui U é a energia em joules, Q é a carga em coulombs e C a capacitância em farads. Observação: essa fórmula é equivalente a \displaystyle U=\frac{1}{2}CV^{2} e a \displaystyle U=\frac{1}{2}QV, porque V=Q/C.

Passo 3

Agora calculamos a energia inicial usando \displaystyle U_{0}=\frac{Q_{0}^{2}}{2C}. Primeiro converto para unidades SI: Q_{0}=8,00\\ \mathrm{mC}=8{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{C} e C=2{,}00\\ \mu\mathrm{F}=2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{F}. Calculo passo a passo:
Q_{0}^{2}=(8{,}00\times10^{-3})^{2}=64{,}00\times10^{-6}=6{,}40\times10^{-5}\\ \mathrm{C}^{2},
2C=2\cdot(2{,}00\times10^{-6})=4{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{F},
U_{0}=\frac{6{,}40\times10^{-5}}{4{,}00\times10^{-6}}=16{,}0\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia inicial é 16{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Para a parte (B) queremos a carga Q quando a energia armazenada U vale a metade de U_{0}, isto é U=\tfrac{1}{2}U_{0}. Usando a fórmula U=\dfrac{Q^{2}}{2C} escrevemos:
\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}\cdot\frac{Q_{0}^{2}}{2C}.
Cancelando o fator comum \dfrac{1}{2C} dos dois lados obtemos
Q^{2}=\frac{Q_{0}^{2}}{2}.
Tomando raiz quadrada (e considerando o módulo da carga, que é positivo para este propósito),
Q=\frac{Q_{0}}{\sqrt{2}}.
Observação didática: note que não foi preciso usar R nem o tempo de descarga — a relação entre energia e carga foi suficiente. Se quiséssemos o instante em que isso ocorre, usaríamos a lei de descarga Q(t)=Q_{0}e^{-t/(RC)} e resolveríamos Q_{0}e^{-t/(RC)}=Q_{0}/\sqrt{2}, obtendo t=(RC/2)\ln 2.

Passo 5

Agora calculo numericamente a carga pedida:
Q=\frac{8{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{C}}{\sqrt{2}}=5{,}657\ldots\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
Arredondando com três algarismos significativos (como nos dados), isso é Q=5{,}66\times10^{-3}\\ \mathrm{C}, que em mili-coulombs é 5{,}66\\ \mathrm{mC}.

Resposta

16{,}0\\ \mathrm{J}\n 5{,}66\\ \mathrm{mC}

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