Questão 6: Um resistor de
é conectado às placas de um capacitor carregado de capacitância
. Imediatamente antes de a conexão ser feita, a carga sobre o capacitor é igual a
.
(A) Qual é o valor da energia inicialmente armazenada no capacitor?
(B) Qual é o valor da carga elétrica armazenada no capacitor no instante em que o valor da energia armazenada no capacitor é metade do calculado na parte (A)?
(A) Qual é o valor da energia inicialmente armazenada no capacitor?
(B) Qual é o valor da carga elétrica armazenada no capacitor no instante em que o valor da energia armazenada no capacitor é metade do calculado na parte (A)?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Dados:
,
e carga inicial
. Perguntas: (A) qual é a energia inicialmente armazenada no capacitor? (B) qual é a carga no capacitor quando a energia armazenada for metade da do item (A)? Nada mais foi pedido (por exemplo, não pediram o instante de tempo); portanto vamos usar apenas as relações entre carga, capacitância e energia para responder.
Passo 2
Vamos lembrar e derivar a fórmula da energia armazenada num capacitor, para ficar claro de onde vem tudo. Considere acumular carga
no capacitor; a diferença de potencial entre as placas, quando a carga é
, é
. A energia infinitesimal necessária para transferir uma pequena carga
é
. Integrando desde
até
obtemos a energia total armazenada:
Aqui
é a energia em joules,
é a carga em coulombs e
a capacitância em farads. Observação: essa fórmula é equivalente a
e a
, porque
.
Passo 3
Agora calculamos a energia inicial usando
. Primeiro converto para unidades SI:
e
. Calculo passo a passo:
Portanto a energia inicial é
.
Passo 4
Para a parte (B) queremos a carga
quando a energia armazenada
vale a metade de
, isto é
. Usando a fórmula
escrevemos:
Cancelando o fator comum
dos dois lados obtemos
Tomando raiz quadrada (e considerando o módulo da carga, que é positivo para este propósito),
Observação didática: note que não foi preciso usar
nem o tempo de descarga — a relação entre energia e carga foi suficiente. Se quiséssemos o instante em que isso ocorre, usaríamos a lei de descarga
e resolveríamos
, obtendo
.
Passo 5
Agora calculo numericamente a carga pedida:
Arredondando com três algarismos significativos (como nos dados), isso é
, que em mili-coulombs é
.