Um corpo inicialmente em repouso percorre uma distância h em um tempo t. Neste caso, a aceleração é dada por
a=\frac{2 h}{t^{2}}
Medidas experimentais de h e t fornecem
\begin{aligned} & h=(0.51 \pm 0.05) \mathrm{cm} \\\ & t=(0.471 \pm 0.005) \mathrm{s} \end{aligned}
(a) Use as medidas de h e t e suas respectivas incertezas \Delta h e \Delta t para calcular o valor de a e também sua incerteza \Delta a. Anote seu resultado abaixo. Lembre de usar apenas um algarismo significativo para a incerteza e de arredondar o valor de \boldsymbol{a} de modo que \boldsymbol{a} e \Delta \boldsymbol{a} tenham o mesmo número de casas decimais.
R: a= ( \square \pm \square ) \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2}
(b) O mesmo experimento é repetido com mais cuidado e com equipamentos melhores. A aceleração obtida é (4.853 \pm 0.002) \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2}. Esses dois valores de \boldsymbol{a} são consistentes entre si?
\mathbf{R} : \square .

Passo 1

O enunciado dá a aceleração em função de h e t:
a = \frac{2\,h}{t^2},
com h=(0,51\pm0,05)\,\mathrm{cm} e t=(0,471\pm0,005)\,\mathrm{s}. Vamos calcular primeiro o valor central de a e depois sua incerteza por propagação de erros.

Passo 2

Substituindo os valores centrais,
a_0 = \frac{2 \times 0{,}51}{(0{,}471)^2} = \frac{1{,}02}{0{,}471^2} \approx \frac{1{,}02}{0{,}22184} \approx 4{,}595\;\mathrm{cm}/\mathrm{s}^2.

Passo 3

As derivadas parciais são
\frac{\partial a}{\partial h} = \frac{2}{t^2},\quad \frac{\partial a}{\partial t} = -\frac{4\,h}{t^3}.
Numericamente,
\frac{\partial a}{\partial h}\Big|_0 \approx \frac{2}{0{,}471^2}\approx9{,}016,\qquad \frac{\partial a}{\partial t}\Big|_0 \approx -\frac{4\times0{,}51}{0{,}471^3}\approx -19{,}52.
Logo,
\Delta a = \sqrt{\bigl(9{,}016\cdot0{,}05\bigr)^2 + \bigl(19{,}52\cdot0{,}005\bigr)^2} \approx \sqrt{0{,}4508^2 + 0{,}0976^2} \approx0{,}461\;\mathrm{cm}/\mathrm{s}^2.

Passo 4

Arredondando \Delta a para um dígito significativo: \Delta a\approx0{,}5.
Ajustando a_0 para ter a mesma casa decimal:
a = (4{,}6\pm0{,}5)\;\mathrm{cm}/\mathrm{s}^2.

Passo 5

O segundo experimento dá a_2=(4{,}853\pm0{,}002)\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}^2. Seu intervalo é [4{,}851,4{,}855] e o nosso é [4{,}1,5{,}1]. Há sobreposição, logo os valores são consistentes.

Resposta

(a) (4{,}6\pm0{,}5)\;\mathrm{cm}/\mathrm{s}^2
(b) Sim

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