Três porções do mesmo líquido estão misturadas em um recipiente que impede a troca de calor com o ambiente. A porção A possui uma massa m e uma temperatura de 94,0^{\circ} \mathrm{C}, a porção B possui uma massa m mas uma temperatura de 78,0^{\circ} \mathrm{C}, e a porção C possui uma massa \mathrm{m}_{\mathrm{C}} e uma temperatura de 34,0^{\circ} \mathrm{C}. Qual deve ser a massa da porção C para que a temperatura final T_{f}, da mistura das três porções seja T_{f}=50,0{ }^{\circ} \mathrm{C} ? Expresse sua resposta em termos de m ; por exemplo, \mathrm{m}_{C}=2,20 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado trata de uma mistura de três porções do mesmo líquido em um recipiente adiabático, ou seja, sem troca de calor com o meio. As porções A e B têm massa m e temperaturas iniciais T_A=94{,}0^\circ\mathrm C e T_B=78{,}0^\circ\mathrm C. A porção C tem massa m_C (a determinar) e temperatura inicial T_C=34{,}0^\circ\mathrm C. A temperatura final da mistura é T_f=50{,}0^\circ\mathrm C. O conteúdo necessário é calorimetria básica, usando conservação de energia (o calor perdido pelas partes quentes é igual ao calor ganho pela parte fria).

Passo 2

Em calorimetria adiabática, aplicamos
Q_{\text{total}}=Q_A+Q_B+Q_C=0,
onde cada Q_i é o calor absorvido pela porção i. Usamos a expressão
Q_i = m_i\,c\,(T_f - T_i),
com c sendo o calor específico (igual para todas as porções e que vai se cancelar).

Passo 3

Escrevendo Q_A, Q_B e Q_C:
Q_A = m\,c\,(T_f - 94{,}0),\quad Q_B = m\,c\,(T_f - 78{,}0),\quad Q_C = m_C\,c\,(T_f - 34{,}0).
Logo,
m\,c\,(T_f - 94{,}0) + m\,c\,(T_f - 78{,}0) + m_C\,c\,(T_f - 34{,}0) = 0.

Passo 4

Fatorando c e substituindo T_f=50{,}0:
c\Bigl[m\,(50{,}0 - 94{,}0) + m\,(50{,}0 - 78{,}0) + m_C\,(50{,}0 - 34{,}0)\Bigr]=0.
Como c\neq0, temos
m\,(50{,}0 - 94{,}0)+m\,(50{,}0 - 78{,}0)+m_C\,(50{,}0 - 34{,}0)=0.

Passo 5

Calculemos cada diferença:
50{,}0 - 94{,}0 = -44{,}0,\quad 50{,}0 - 78{,}0 = -28{,}0,\quad 50{,}0 - 34{,}0 = 16{,}0.
Substituindo:
m\cdot(-44{,}0) + m\cdot(-28{,}0) + m_C\cdot 16{,}0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -72{,}0\,m + 16{,}0\,m_C = 0.
Isolando m_C:
16{,}0\,m_C = 72{,}0\,m \quad\Longrightarrow\quad m_C = \frac{72{,}0}{16{,}0}\,m = 4{,}50\,m.

Resposta

\displaystyle m_C = 4{,}50\,m

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