Um corpo de 3 kg move-se para a direita, a 5 m / s, e outro, de 3 kg, move-se para a esquerda a 2 m / s.
a) Calcule a energia cinética total do sistema dos dois corpos no referencial mencionado.
b) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema dos dois corpos.
c) Calcule as velocidades dos dois corpos em relação ao centro de massa.
d) Calcule a energia cinética do movimento dos dois corpos em relação ao centro de massa.
e) Mostre que a resposta da parte a) é maior do que a resposta da parte d) e que a diferença entre elas é a energia cinética do centro de massa.

Passo 1

Beleza, então a gente tem dois corpos de massa igual (3 kg cada). Um vai pra direita com 5 m/s e o outro pra esquerda com 2 m/s. O assunto é energia cinética e centro de massa.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula da energia cinética: .
  2. Fórmula da velocidade do centro de massa: .
  3. Velocidade relativa ao CM: .

Passo 2

(a) Energia cinética total no referencial dado
  • Para o corpo 1:
Ek1 = tfrac12 cdot 3 cdot 5^2 = tfrac12 cdot 3 cdot 25 = 37,5 J
  • Para o corpo 2 (velocidade 2 m/s, a direção não importa no Ek2 = tfrac12 cdot 3 cdot 2^2 = tfrac12 cdot 3 cdot 4 = 6 J ):
Ek,total = 37,5 + 6 = 43,5 J
Logo,

Passo 3

(b) Velocidade do centro de massa
Usamos
vcm = m1 v1 + m2 v2m1 + m2
Aqui vcm = 3cdot5 + 3cdot(-2)3+3 = 15 - 66 = 96 = 1,5 m/s m/s e m/s (sinal negativo pra esquerda):

Passo 4

© Velocidades em relação ao centro de massa
v1' = v1 - vcm = 5 - 1,5 = 3,5 m/s,
v2' = v2 - vcm = (-2) - 1,5 = -3,5 m/s

Passo 5

(d) Energia cinética no referencial do centro de massa
  • Para o corpo 1:
Ek1' = tfrac12 cdot 3 cdot (3,5)^2 = 1,5 cdot 12,25 = 18,375 J
  • Para o corpo 2 (mesmo valor, pois Ek2' = 18,375 J ):
Ek,CM = 18,375 + 18,375 = 36,75 J
Logo,

Passo 6

(e) Mostrando a diferença dar a energia do CM
Diferença entre (a) e (d):
43,5 - 36,75 = 6,75 J
Energia cinética do CM como se fosse uma partícula única de massa Ek,CM(partícula) = tfrac12 M vcm^2 = tfrac12 cdot 6 cdot (1,5)^2 = 3 cdot 2,25 = 6,75 J kg e velocidade m/s:
í
Então a diferença bate direitinho com a energia cinética do CM.

Resposta

a)
b)
c)
d)
e) , que é exatamente a energia cinética do CM.

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