Um garoto de massa 30 kg, correndo a 2,5 m / s, salta sobre um carrinho de massa 10 kg, que estava parado, permanecendo sobre ele.
a) Determine a velocidade do conjunto carrinho+garoto depois que ambos estiverem andando juntos.
b) Em seguida, o garoto começa a andar sobre o carrinho com velocidade de 0,5 m / s, relativa ao carrinho, dirigindo-se para a frente do mesmo. Qual a nova velocidade do carrinho?
c) Quando o garoto chega à extremidade do carrinho, ele pula para a frente, com velocidade de 1,0 m / s em relação ao carrinho. Com que velocidade fica o carrinho depois disso?
Desafio: Se a velocidade do carrinho for u m / s para a direita e o garoto de massa m kg saltar para a esquerda com velocidade, em relação ao carrinho, v m / s, qual será a variação de velocidade do carrinho? Suponha que o carrinho esteja inicialmente em repouso e sobre ele existam n garotos. Se cada garoto saltar sucessivamente com velocidade v m / s, eles transmitiriam ao carrinho maior velocidade do que seria transmitida se todos saltassem ao mesmo tempo? Justifique.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: um garoto de 30 kg corre a 2,5 m/s e salta em um carrinho de 10 kg parado, gruda nele e sai andando junto. Depois ele anda sobre o carrinho com certa velocidade relativa, muda a velocidade do carrinho, e por fim pula pra frente. Precisamos usar conservação de quantidade de movimento (momentum) em cada etapa, além de entender velocidade relativa. Tudo é colidindo e “recolidindo” no mesmo eixo, sem forças externas horizontais.
O que vamos usar:
  • Definição de momentum: .
  • Princípio da conservação do momentum em sistema isolado: antes = depois.
  • Relação entre velocidades no referencial do carrinho e no referencial da Terra: .

Passo 2

Parte (a): garoto (massa mg,vg + mccdot 0 = (mg + mc),vf , velocidade vf = mg,vgmg + mc = 30 times 2,530 + 10 = 7540 = 1,875 m/s ) gruda no carrinho ( , repouso).
Conserva-se:
Isolando :

Passo 3

Parte (b): agora garoto e carrinho juntos (massa total 40 kg) movem-se a 30,(V + 0,5) + 10,V = 40 times 1,875 = 75 . O garoto anda para frente no carrinho a 0,5 m/s RELATIVO ao carrinho. Queremos a nova velocidade do carrinho 30V + 15 + 10V = 75 Rightarrow 40V = 60 Rightarrow V = 1,5 m/s .
No referencial da terra, velocidade do garoto é . Conservação do momentum:
Distribuindo:

Passo 4

Parte ©: o garoto, já na frente, salta para a frente com 1,0 m/s relativo ao carrinho. Antes do salto o sistema (30+10 kg) está a 1,5 m/s, então momentum inicial é 30,(V' + 1) + 10,V' = 60 ;Rightarrow; 30V' + 30 + 10V' = 60 ;Rightarrow; 40V' = 30 ;Rightarrow; V' = 0,75 m/s .
Depois do salto, o garoto sai com velocidade no solo e o carrinho fica com . Conservação:

Passo 5

Desafio geral: carrinho (massa m,(uf - v) + (M + (n-1)m),uf = 0 ;Rightarrow; uf = m,vM + n,m ) começa parado com De garotos (cada um de massa useq = sumk=1^n m,vM + (n-k+1),m = m,vsumi=1^n 1M + i,m ). Um garoto salta pra esquerda (velocidade relativa ao carrinho (n,m)(u - v) + M,u = 0 ;Rightarrow; usim = n,m,vM + n,m , isto é, para o lado oposto ao movimento positivo).
  1. Variação de velocidade num salto isolado (inicialmente o conjunto todo a , mas vamos supor ):
    Se estivesse em repouso, a variação de velocidade do carrinho+resto é
  2. Vários pulos seqüenciais: depois de cada salto, a massa do sistema diminui em , e a velocidade aumenta de
    A velocidade final seqüencial é
  3. Todos pulam ao mesmo tempo: então a massa total que sai de uma vez é com velocidade relativa , e
Como a soma harmônica

é sempre maior que

resultado:
u_seq > u_sim.
Ou seja: se pularem um a um, o carrinho atinge maior velocidade do que se todos pularem juntos.

Resposta

a)
b)
c)
Desafio:
  • Salto isolado muda a velocidade em
  • Sequencial:
  • Simultâneo:
    E .

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