Muitas aplicações da conservação do momento envolvem também a conservação de energia. Eis um exemplo: uma colisão elástica entre dois corpos é definida como uma colisão na qual a energia cinética total dos dois corpos é a mesma que antes. (Um exemplo familiar é a colisão entre duas bolas de bilhar, que geralmente perdem extremamente pouco de sua energia cinética total, como na forma de ondas sonoras, por exemplo.) Considere uma colisão elástica entre dois corpos de massas iguais, um dos quais está inicialmente em repouso. Antes da colisão a partícula 1 possui uma velocidade igual a e v2 está parada, v2=0, depois da colisão elas possuem velocidades v1 e v2.
(a) Escreva a equação vetorial representando a conservação do momento e a equação escalar que expressa que a colisão é elástica.
(b) Use esses resultados para mostrar que o ângulo entre v1 e v2 é 90^circ. Este resultado foi importante na história da física atômica e nuclear: dois corpos que sofreram uma colisão, movendo-se com trajetórias perpendiculares era uma forte sugestão de que eles tinham a mesma massa e tinham sofrido uma colisão elástica.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma colisão elástica entre duas partículas de mesma massa, uma delas inicialmente parada. Na física, isso cai em “conservação de momento” e “conservação de energia cinética”. Para resolver, vamos precisar:
Escrever a equação vetorial de conservação do momento.
Escrever a equação escalar que diz que a energia cinética se conserva (colisão elástica).
Usar essas duas pra mostrar que o ângulo entre as velocidades finais é de 90°.
Passo 2
Primeiro, a conservação do momento (teoria: o momento total antes = depois, já que não há forças externas):
m,v1 + m,v2 = m,v1' + m,v2',
Como a partícula 2 está parada antes, v2=0. E as massas são iguais, então podemos dividir tudo por m: boxedv1 = v1' + v2',
Passo 3
Agora, a conservação da energia cinética (teoria: em colisão elástica, não sobra nem falta energia cinética):
tfrac12,m,v1^2 + tfrac12,m,v2^2 = tfrac12,m,v1'^2 + tfrac12,m,v2'^2,
De novo v2=0 e massa comum, daí: boxedv1^2 = v1'^2 + v2'^2,
Em seguida, a ideia é ligar essa relação com a de momento. A gente sabe que, do passo 2,
v1 = v1' + v2',
Agora aplicamos o produto escalar dos dois lados com v1 (teoria: acdota=a^2 e acdot(b+c)=acdotb+acdotc): v1^2 = v1cdotv1 = (v1'+v2')cdot(v1'+v2') = v1'^2 + 2,v1'cdotv2' + v2'^2,
Passo 4
Compare essa expansão com a conservação de energia (v1^2 = v1'^2 + v2'^2). A única forma de elas baterem é se
2,v1'cdotv2' = 0 Longrightarrow v1'cdotv2' = 0,
Teoria do produto escalar: acdotb=|a|,|b|costheta. Se esse valor é zero (e as velocidades têm módulo não nulo), a gente conclui costheta = 0 Longrightarrow theta = 90^circ,