Um corpo é lançado em uma dada localidade com velocidade inicial de módulo
, cuja direção forma um ângulo
não nulo com relação à horizontal. O corpo se choca, antes de atingir a sua máxima altura possível, contra uma parede situada a uma distância horizontal
do ponto de lançamento. Assumindo que a aceleração gravitacional local tem módulo
e que a resistência do ar pode ser negligenciada, qual alternativa indica o módulo da velocidade
do corpo no momento da colisão?
OBS.: É necessário apresentar o raciocínio dentro do quadro abaixo para pontuação desta questão.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Dados fornecidos:
- velocidade inicial de módulo
; - direção inicial faz um ângulo
(não nulo) com a horizontal; - parede a uma distância horizontal
do ponto de lançamento; - aceleração gravitacional de módulo
; - resistência do ar desprezível;
- o choque ocorre antes de atingir a altura máxima (isto significa que a componente vertical da velocidade no choque ainda é positiva).
- velocidade inicial de módulo
- O que se pede:
- encontrar o módulo da velocidade
do corpo no instante da colisão com a parede (expressão em termos de ).
- encontrar o módulo da velocidade
Passo 2
Primeiro vamos lembrar uma ideia básica e muito útil: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso vale para qualquer lançamento oblíquo sem resistência do ar.
- A componente horizontal inicial é
. - A componente vertical inicial é
.
Explicação curta: a velocidade é um vetor; projetando-o sobre a horizontal e a vertical obtém-se essas componentes usando seno e cosseno do ângulo.
Passo 3
Agora, usamos as equações do movimento retilíneo uniforme (MRU) para a direção horizontal e do movimento uniformemente variado (MUV) para a direção vertical.
- Na horizontal, sem aceleração, a posição horizontal varia como
Como a parede está a uma distância horizontal
, o tempo
que o projétil leva para atingir a parede satisfaz
Passo 4
Da equação anterior isolamos o tempo de colisão:
Comentário: é o tempo que o projétil demora para percorrer a distância horizontal
com velocidade horizontal constante
.
Passo 5
Na vertical, a velocidade varia devido à gravidade segundo a equação do MUV para a velocidade:
Substituindo o tempo encontrado:
Passo 6
A componente horizontal da velocidade no instante da colisão permanece igual à inicial (não há aceleração horizontal):
Passo 7
O módulo da velocidade no instante da colisão é a magnitude do vetor velocidade formado por
e
. Assim:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão por fora da raiz. Primeiro expandindo o quadrado:
Agora usar que
para juntar os dois primeiros termos:
Passo 9
Portanto o módulo da velocidade no momento da colisão é
Observações rápidas e tranquilizadoras: a expressão é consistente dimensionalmente (cada termo sob a raiz tem dimensão de velocidade ao quadrado). Se
for pequeno o termo dominante é
, e se houver gravidade o segundo termo diminui a velocidade quando a trajetória sobe (pois
antes da altura máxima).