Um corpo é lançado em uma dada localidade com velocidade inicial de módulo v_{0}, cuja direção forma um ângulo \theta não nulo com relação à horizontal. O corpo se choca, antes de atingir a sua máxima altura possível, contra uma parede situada a uma distância horizontal \Delta x do ponto de lançamento. Assumindo que a aceleração gravitacional local tem módulo g e que a resistência do ar pode ser negligenciada, qual alternativa indica o módulo da velocidade v do corpo no momento da colisão?
OBS.: É necessário apresentar o raciocínio dentro do quadro abaixo para pontuação desta questão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade inicial de módulo v_{0};
    • direção inicial faz um ângulo \theta (não nulo) com a horizontal;
    • parede a uma distância horizontal \Delta x do ponto de lançamento;
    • aceleração gravitacional de módulo g;
    • resistência do ar desprezível;
    • o choque ocorre antes de atingir a altura máxima (isto significa que a componente vertical da velocidade no choque ainda é positiva).
  • O que se pede:
    • encontrar o módulo da velocidade v do corpo no instante da colisão com a parede (expressão em termos de v_{0},\theta,\Delta x,g).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar uma ideia básica e muito útil: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso vale para qualquer lançamento oblíquo sem resistência do ar.
  • A componente horizontal inicial é \,v_{0x}=v_{0}\cos\theta.
  • A componente vertical inicial é \,v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
Explicação curta: a velocidade é um vetor; projetando-o sobre a horizontal e a vertical obtém-se essas componentes usando seno e cosseno do ângulo.

Passo 3

Agora, usamos as equações do movimento retilíneo uniforme (MRU) para a direção horizontal e do movimento uniformemente variado (MUV) para a direção vertical.
  • Na horizontal, sem aceleração, a posição horizontal varia como
x(t)=v_{0x}\,t = v_{0}\cos\theta\; t.
Como a parede está a uma distância horizontal \Delta x, o tempo t que o projétil leva para atingir a parede satisfaz
\Delta x = v_{0}\cos\theta\; t.

Passo 4

Da equação anterior isolamos o tempo de colisão:
t=\dfrac{\Delta x}{v_{0}\cos\theta}.
Comentário: é o tempo que o projétil demora para percorrer a distância horizontal \Delta x com velocidade horizontal constante v_{0}\cos\theta.

Passo 5

Na vertical, a velocidade varia devido à gravidade segundo a equação do MUV para a velocidade:
v_{y}(t)=v_{0y}-g\,t = v_{0}\sin\theta - g\,t.
Substituindo o tempo encontrado:
v_{y\!,\text{col}} = v_{0}\sin\theta - g\left(\dfrac{\Delta x}{v_{0}\cos\theta}\right).

Passo 6

A componente horizontal da velocidade no instante da colisão permanece igual à inicial (não há aceleração horizontal):
v_{x\!,\text{col}} = v_{0}\cos\theta.

Passo 7

O módulo da velocidade no instante da colisão é a magnitude do vetor velocidade formado por v_{x\!,\text{col}} e v_{y\!,\text{col}}. Assim:
v=\sqrt{v_{x\!,\text{col}}^{2}+v_{y\!,\text{col}}^{2}} =\sqrt{\bigl(v_{0}\cos\theta\bigr)^{2}+\left(v_{0}\sin\theta - g\dfrac{\Delta x}{v_{0}\cos\theta}\right)^{2}}.

Passo 8

Vamos simplificar a expressão por fora da raiz. Primeiro expandindo o quadrado:
v^{2}=v_{0}^{2}\cos^{2}\theta + v_{0}^{2}\sin^{2}\theta -2\,v_{0}\sin\theta\left(g\dfrac{\Delta x}{v_{0}\cos\theta}\right) + \left(g\dfrac{\Delta x}{v_{0}\cos\theta}\right)^{2}.
Agora usar que \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 para juntar os dois primeiros termos:
v^{2}=v_{0}^{2} - 2g\,\Delta x\,\tan\theta + \dfrac{g^{2}\,\Delta x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.

Passo 9

Portanto o módulo da velocidade no momento da colisão é
v=\sqrt{\,v_{0}^{2} - 2g\,\Delta x\,\tan\theta + \dfrac{g^{2}\,\Delta x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\, }.
Observações rápidas e tranquilizadoras: a expressão é consistente dimensionalmente (cada termo sob a raiz tem dimensão de velocidade ao quadrado). Se \Delta x for pequeno o termo dominante é v_{0}^{2}, e se houver gravidade o segundo termo diminui a velocidade quando a trajetória sobe (pois \tan\theta>0 antes da altura máxima).

Resposta

v=\sqrt{\,v_{0}^{2} - 2g\,\Delta x\,\tan\theta + \dfrac{g^{2}\,\Delta x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\, }.

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