Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40t - 5t² onde a altura h(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. Calcule:
(a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima.
(b) A altura máxima atingida pelo objeto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um corpo que é lançado verticalmente para cima, e a posição desse corpo em função do tempo é dada pela função $ h(t) = 40t - 5t^2 $, onde $ h(t) $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos resolver duas coisas:
a) O tempo que o objeto demora para atingir a altura máxima.
b) Qual é essa altura máxima.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente sobre movimentos verticais e funções de posição. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e identificar quando o objeto para de subir.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): encontrar o tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima.
Primeiro, precisamos entender que a altura máxima é alcançada quando o objeto para de subir, ou seja, quando sua velocidade é zero. A velocidade é a derivada da função de posição em relação ao tempo.
Então, vamos calcular a derivada da função $ h(t) $:
h(t)
A derivada de $ h(t) $ em relação a $ t $ é:
h(t) = 40t - 5t^2
Agora, para encontrar o tempo em que a velocidade é zero, igualamos $ h’(t) $ a zero:
h(t)

Passo 3

Resolvendo a equação $ 40 - 10t = 0 $ para $ t $:
40 - 10t = 0
t
Então, o tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima é de 4 segundos.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): calcular a altura máxima atingida pelo objeto.
Sabemos que a altura máxima ocorre no momento $ t = 4 $ segundos. Vamos substituir esse valor na função de posição $ h(t) $:
t = 4
h(t)
h(4) = 40 times 4 - 5 times 4^2

Resposta

a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima é de 4 segundos.
b) A altura máxima atingida pelo objeto é de 80 metros.

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