Um corpo é lançado verticalmente para cima, a partir da altura h com velocidade inicial v0. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g. Mostre que:
b) O tempo que o corpo leva para chegar ao solo é dado por: tv=v0g(1+raiz1+2 g hv0^2)

Passo 1

Beleza, vamos ao enunciado: um objeto parte da altura com velocidade inicial pra cima, sem resistência do ar e sofre aceleração da gravidade . A parada é achar o tempo total até ele voltar ao solo.
Conteúdo: Cinemática (MUV) e resolução de equação do 2º grau (fórmula de Bhaskara). Vamos precisar da equação do espaço em função do tempo e da fórmula de Bhaskara pra resolver o tempo em que a altura vira zero.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento vertical (MUV):
y(t) = h + v0,t - tfrac12,g,t^2
Aqui é a altura em cada instante. Queremos o instante em que o corpo chega ao solo, ou seja .

Passo 3

Colocando na forma padrão de equação do segundo grau tfrac12,g,t^2 - v0,t - h = 0 :
- O termo em a = tfrac12 g, b = -v0, c = -h é ,
- o termo em é ,
- o termo constante é .
Multiplicando tudo por para facilitar, fica:
Então identificamos:

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo t = -(-v0) pm raiz(-v0)^2 - 4,( tfrac12 g),(-h)2,( tfrac12 g) , t = v0 pm raizv0^2 + 2,g,hg , :
Temos duas raízes, mas a única fisicamente interessante (tempo positivo, maior que zero) é com o sinal “+” na raiz.

Passo 5

Então o tempo de subida+descida até o solo é
tv = v0 + raizv0^2 + 2ghg
Dá pra fatorar e deixar do jeitinho pedido:

Resposta

tv = v0g,l(1 + raiz1 + tfrac2ghv0^2r)

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