Corpo lançado verticalmente para cima a partir de uma certa altura
Um corpo é lançado verticalmente para cima a partir de uma altura inicial
velocidade inicial
Considere
(sentido para baixo).
a) Escreva a equação horária da altura
.
b) Determine a altura máxima atingida pelo corpo.
c) Calcule o tempo total de voo até tocar o solo.
d) Determine a velocidade do corpo no instante do ir □ to com o solo.
a) Escreva a equação horária da altura
b) Determine a altura máxima atingida pelo corpo.
c) Calcule o tempo total de voo até tocar o solo.
d) Determine a velocidade do corpo no instante do ir □ to com o solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
- Dados fornecidos:
- Perguntas:
(a) Escrever a equação horária da altura.
(b) Determinar a altura máxima atingida pelo corpo.
(c) Calcular o tempo total de voo até tocar o solo.
(d) Determinar a velocidade do corpo no instante em que toca o solo.
Passo 2
Definição de convenção e dedução da equação horária (passo a passo, como você faria na prova):
- Convenção de sinais: tomo o eixo vertical com sentido positivo para cima. Como
aponta para baixo, a aceleração é constante e vale , ou seja,
Explanação: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo; para movimento uniformemente acelerado (a constante) podemos integrar para obter velocidade e posição.
- Integração para obter a velocidade: integrando
em relação a e usando a condição inicial , obtemos
Aqui
é a velocidade instantânea (positiva para cima, negativa para baixo).
- Integração para obter a posição (altura): integrar
em relação a e usar dá
Esta é a equação horária pedida: ela relaciona a altura
com o tempo
.
Passo 3
Altura máxima — quando e quanto:
-
Conceito: a altura máxima ocorre quando a velocidade instantânea se anula (o corpo para momentaneamente antes de voltar a cair). Logo resolvemos
. -
Calcular o instante
:
Substituindo os valores numéricos:
- Calcular a altura máxima
. Podemos usar diretamente a horária:
Para facilitar a conta também existe a fórmula direta (derivada das equações cinemáticas):
porque a energia cinética inicial transformou-se em ganho de altura até
. Substituindo:
Arredondando:
Passo 4
Tempo total de voo até tocar o solo:
- Procedimento: o tempo de impacto
é a solução positiva da equação , isto é
Reescrevendo na forma quadrática padrão:
- Aplicando a fórmula de Bhaskara (quadrática). Para
temos
Explicação: escolhemos o sinal
porque queremos a raiz positiva (tempo positivo, maior que zero).
- Substituindo os números:
Passo 5
Velocidade no instante do impacto:
- Usando a expressão da velocidade:
Substituindo
:
Interpretação: o sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo no momento do choque com o solo; o módulo é aproximadamente
.
- Observação alternativa (cheia de sentido físico): pelo teorema da energia cinética ou pela equação
com , obtemos , e o sinal é negativo (para baixo).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (para baixo).
(b)
(c)
(d)