Corpo lançado verticalmente para cima a partir de uma certa altura
Um corpo é lançado verticalmente para cima a partir de uma altura inicial h_{0}=12, \mathrm{~m} \quad \mathrm{com} velocidade inicial v_{0}=18, \mathrm{~m} / \mathrm{s} Considere g=9,8, \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} (sentido para baixo).
a) Escreva a equação horária da altura y(t).
b) Determine a altura máxima atingida pelo corpo.
c) Calcule o tempo total de voo até tocar o solo.
d) Determine a velocidade do corpo no instante do ir □ to com o solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Dados fornecidos:
h_{0}=12\\ \mathrm{m},\qquad v_{0}=18\\ \mathrm{m/s},\qquad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\text{ (direção para baixo)}.çã
  • Perguntas:
    (a) Escrever a equação horária da altura y(t).
    (b) Determinar a altura máxima atingida pelo corpo.
    (c) Calcular o tempo total de voo até tocar o solo.
    (d) Determinar a velocidade do corpo no instante em que toca o solo.

Passo 2

Definição de convenção e dedução da equação horária (passo a passo, como você faria na prova):
  • Convenção de sinais: tomo o eixo vertical com sentido positivo para cima. Como g aponta para baixo, a aceleração é constante e vale -g, ou seja,
a(t)=-g.
Explanação: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo; para movimento uniformemente acelerado (a constante) podemos integrar para obter velocidade e posição.
  • Integração para obter a velocidade: integrando a(t)=-g em relação a t e usando a condição inicial \,v(0)=v_0, obtemos
v(t)=v_{0}-g\,t.
Aqui v(t) é a velocidade instantânea (positiva para cima, negativa para baixo).
  • Integração para obter a posição (altura): integrar v(t) em relação a t e usar y(0)=h_0
y(t)=h_{0}+v_{0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Esta é a equação horária pedida: ela relaciona a altura y com o tempo t.

Passo 3

Altura máxima — quando e quanto:
  • Conceito: a altura máxima ocorre quando a velocidade instantânea se anula (o corpo para momentaneamente antes de voltar a cair). Logo resolvemos v(t)=0.
  • Calcular o instante t_{\text{máx}}á:
0=v_{0}-g\,t_{\text{máx}}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{máx}}=\frac{v_{0}}{g}.áá
Substituindo os valores numéricos:
t_{\text{máx}}=\frac{18}{9{,}8}\\ \mathrm{s}\approx 1{,}8367\\ \mathrm{s}\approx 1{,}84\\ \mathrm{s}.á
  • Calcular a altura máxima y_{\text{máx}}=y(t_{\text{máx}})áá. Podemos usar diretamente a horária:
y_{\text{máx}}=h_{0}+v_{0}\,t_{\text{máx}}-\tfrac{1}{2}g\,t_{\text{máx}}^{2}.ááá
Para facilitar a conta também existe a fórmula direta (derivada das equações cinemáticas):
y_{\text{máx}}=h_{0}+\frac{v_{0}^{2}}{2g},á
porque a energia cinética inicial transformou-se em ganho de altura até v=0. Substituindo:
y_{\text{máx}}=12+\frac{18^{2}}{2\cdot 9{,}8}=12+\frac{324}{19{,}6}=12+16{,}5306\approx 28{,}5306\\ \mathrm{m}.á
Arredondando: y_{\text{máx}}\approx 28{,}53\\ \mathrm{m}.á

Passo 4

Tempo total de voo até tocar o solo:
  • Procedimento: o tempo de impacto t_{\text{impacto}} é a solução positiva da equação y(t)=0, isto é
h_{0}+v_{0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=0.
Reescrevendo na forma quadrática padrão:
\tfrac{1}{2}g\,t^{2}-v_{0}\,t-h_{0}=0.
  • Aplicando a fórmula de Bhaskara (quadrática). Para a=\tfrac{1}{2}g,\\ b=-v_{0},\\ c=-h_{0} temos
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{v_{0}\pm\sqrt{v_{0}^{2}+2gh_{0}}}{g}.
Explicação: escolhemos o sinal + porque queremos a raiz positiva (tempo positivo, maior que zero).
  • Substituindo os números:
v_{0}^{2}+2gh_{0}=324+2\cdot 9{,}8\cdot 12=324+235{,}2=559{,}2.
\sqrt{559{,}2}\approx 23{,}6473.
t_{\text{impacto}}=\frac{18+23{,}6473}{9{,}8}=\frac{41{,}6473}{9{,}8}\approx 4{,}2497\\ \mathrm{s}\approx 4{,}25\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Velocidade no instante do impacto:
  • Usando a expressão da velocidade:
v(t)=v_{0}-g\,t.
Substituindo t=t_{\text{impacto}}:
v_{\text{impacto}}=18-9{,}8\cdot 4{,}2497\approx 18-41{,}647\approx -23{,}647\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo no momento do choque com o solo; o módulo é aproximadamente 23{,}65\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação alternativa (cheia de sentido físico): pelo teorema da energia cinética ou pela equação v^{2}=v_{0}^{2}+2g(h_{0}-y) com y=0, obtemos |v_{\text{impacto}}|=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh_{0}}=\sqrt{559{,}2}\approx 23{,}647\\ \mathrm{m/s}, e o sinal é negativo (para baixo).

Resposta

(a) y(t)=12+18t-\tfrac{1}{2}\,9{,}8\,t^{2}\\ \mathrm{m}.
(b) y_{\text{máx}}\approx 28{,}53\\ \mathrm{m}.á
(c) t_{\text{total}}\approx 4{,}25\\ \mathrm{s}.
(d) v_{\text{impacto}}\approx -23{,}65\\ \mathrm{m/s} (para baixo).

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