Um jogador chuta uma bola a partir do solo com velocidade inicial
. A bola segue uma trajectória parabólica e, durante a descida, passa exactamente à altura de
ao cruzar a linha da baliza situada a
do ponto de remate.
a) Escreva as equações paramétricas
e
.
b) Determine o tempo que a bola demora a alcançar a baliza.
c) Calcule o ângulo de lançamento
da velocidade inicial com a horizontal.
a) Escreva as equações paramétricas
b) Determine o tempo que a bola demora a alcançar a baliza.
c) Calcule o ângulo de lançamento
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
- Foi dado que a velocidade inicial é
. - A bola parte do solo (ou seja, a coordenada vertical inicial é zero:
). - A linha da baliza está a
do ponto de remate (isto fornece a coordenada horizontal: ). - Ao cruzar a linha da baliza, durante a descida, a altura da bola é
(isto fornece o ponto que a trajetória atinge no instante de passagem pela baliza).
O que o enunciado pede:
a) Escrever as equações paramétricase .
b) Determinar o tempo que a bola demora a alcançar a baliza (tempotal que ).
c) Calcular o ângulo de lançamentoda velocidade inicial com a horizontal.
Passo 2
Equações gerais do movimento de um projétil (sem resistência do ar) e significado das variáveis — aula rápida e necessária.
- Num lançamento oblíquo com velocidade inicial
formando um ângulo com a horizontal, decomponho a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical: Aqui é a componente horizontal (constante no tempo se desprezarmos resistência do ar) e é a componente vertical (que se altera devido à gravidade). - Adotamos a aceleração da gravidade
apontando para baixo. - As equações paramétricas, a partir das componentes e da cinemática de movimento com aceleração constante, são:
Explico:
vem de deslocamento horizontal = velocidade horizontal
tempo.
vem de deslocamento vertical = velocidade vertical inicial
tempo mais
aceleração vertical
, aqui a aceleração é
então aparece o sinal negativo.
Passo 3
Aplicando os dados numéricos às equações (resposta do item a) com explicação)
- Substituo
e nas fórmulas do passo anterior. Assim obtemos as equações paramétricas pedidas:
Estas são as equações paramétricas gerais do movimento com o valor numérico de
e
. (Isto responde o item a).)
Passo 4
Relacionar o tempo de passagem pela baliza com
— primeiro passo para encontrar
e
- No instante em que a bola cruza a linha da baliza temos
. Usando isolamos o tempo desse instante: Aqui . Esse é o tempo que queremos no item b), depois de encontrarmos .
Passo 5
Usar a condição de altura
no mesmo instante e reduzir a equação para uma equação em
— técnica padrão
- Substituo
em e imponho : - Simplifico o primeiro termo:
cancela, ficando . No segundo termo, simplifico os números e uso para obter uma equação em , que costuma facilitar os cálculos: Agora calculemos os fatores numéricos: e . Assim Compute o coeficiente numérico . Como , Fazendo as multiplicações/delimitações (faço passo a passo): e dividindo por dá aproximadamente . Portanto - Substituo
e ponho . Obtenho uma equação quadrática em : Expandindo: Coloco em forma padrão :
Passo 6
Resolver a quadrática em
usando a fórmula de Bhaskara e explicar a fórmula
- A fórmula para as raízes da equação
é Aqui . - Calculo o discriminante
: (Mostrei o produto intermediário ; multiplicando por obtemos .) - A raiz quadrada do discriminante (aplico método numérico/ Newton) dá
- Substituindo na fórmula:
- Calculo as duas raízes:
Estas são as duas soluções para
. Expliquei: para um projétil que passa por um dado ponto a uma dada distância horizontal, é comum existir duas soluções (uma trajetória baixa e rápida, outra alta e lenta).
Passo 7
Converter
nas medidas do ângulo
(graus) e interpretar as duas soluções — como fazer na prova
- Para obter
aplico a função arco-tangente: . Em provas sem calculadora basta indicar o procedimento; aqui faço o cálculo numérico aproximado:
Interpretação: existem duas inclinações possíveis que fazem a bola passar pela altura
a
— uma muito inclinada (
) e outra rasa (
). Ambas matematicamente válidas; fisicamente, para um remate de futebol, a solução menor (
) é a mais realista. Note que o enunciado diz que a passagem ocorre durante a descida — é boa prática verificar o sentido vertical da velocidade naquele instante (ver passo seguinte) para confirmar que o ponto ocorre após o ápice.
Passo 8
Determinar os tempos correspondentes ao cruzamento da baliza (resposta do item b) e verificar que em ambos os casos a bola está em descida
- O tempo para atingir
é Posso calcular esse tempo para cada obtida. Uso a relação (útil quando já tenho ). - Para
(ângulo baixo):
- Para
(ângulo alto):
- Verificação de que em ambos os casos a passagem ocorre durante a descida: calculo a velocidade vertical no instante
: Para cada solução fica negativo (isto é, a componente vertical aponta para baixo), confirmando que a bola está a descer ao cruzar a baliza em ambas as trajetórias. (Na prova basta calcular e verificar que .)
Passo 9
Resumo/observações finais de estratégia para a prova (rápido)
- Procedimento padrão para este tipo de problema: (i) escrever as equações paramétricas; (ii) usar
conhecido para achar em função de ; (iii) substituir em e transformar em equação em usando ; (iv) resolver a quadrática; (v) converter em e voltar ao tempo. Guardar sempre a verificação do sinal da velocidade vertical se o enunciado menciona “durante a descida”.
Resposta
a)
b) Os tempos para cruzar a baliza são aproximadamente e
c) Os ângulos de lançamento possíveis são aproximadamente ou
(a solução mais realista para um remate de futebol é
).
b) Os tempos para cruzar a baliza são aproximadamente
c) Os ângulos de lançamento possíveis são aproximadamente