Dois corpos: um lançado para cima e outro em queda livre
No instante t=0, um corpo A é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade v_{0 A}=22, \mathrm{~m} / \mathrm{s} \quad. Ao mesmo tempo, um corpo B é largado (queda livre) de uma altura H=80, \mathrm{~m} \quad, sem velocidade inicial.
a) Escreva as equações do movimento de A e de B.
b) Determine o instante em que se cruzam pela primeira vez.
c) Calcule a altura em que ocorre o cruzamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Dados fornecidos:
    • No instante t=0, o corpo A é lançado do solo para cima com velocidade inicial v_{0A}=22\\ \mathrm{m/s}.
    • No mesmo instante t=0, o corpo B é largado (queda livre) a partir da altura H=80\\ \mathrm{m}, com velocidade inicial v_{0B}=0.
  • Perguntas do problema:
    a) Escrever as equações do movimento de A e de B (funções y_A(t) e y_B(t)).
    b) Determinar o instante em que A e B se cruzam pela primeira vez.
    c) Calcular a altura em que ocorre esse cruzamento.

Passo 2

Escolhendo convenção de sinais e fórmula geral:
  • Vou tomar a direção para cima como positiva e a origem y=0 no solo.
  • Para movimento com aceleração constante usamos a fórmula geral
y(t)=y_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2,
onde:
  • y(t) é a posição vertical no instante t,
  • y_0 é a posição inicial (em t=0),
  • v_0 é a velocidade inicial (positiva para cima),
  • a é a aceleração (aqui a única aceleração é a gravidade, que aponta para baixo).
  • Vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e, como escolhi para cima o sinal positivo, a aceleração será a=-g=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
    (Dica rápida: essa fórmula vem da integração da aceleração constante; v(t)=v_0+at e integrando y(t)=y_0+\int_0^t v(t')dt' = y_0+v_0 t+\tfrac{1}{2}at^2.)

Passo 3

Equação do movimento do corpo A:
  • Para A temos y_0=0 (parte do solo) e v_{0}=v_{0A}=22\\ \mathrm{m/s}. Substituindo a=-g na fórmula geral:
y_A(t)=0+22\,t+\tfrac{1}{2}(-g)t^2 = 22\,t-\tfrac{1}{2}g t^2.
  • Escrevendo com g=9{,}8:
y_A(t)=22\,t-\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\,t^2 = 22\,t-4{,}9\,t^2.
Explanação: a primeira parcela 22t é o quanto subiria em movimento uniforme; a parcela -4{,}9 t^2 corrige pela aceleração para baixo (freando, invertendo e depois puxando para baixo).

Passo 4

Equação do movimento do corpo B:
  • Para B temos y_0=H=80\\ \mathrm{m} e v_{0B}=0. Substituindo:
y_B(t)=80+0\cdot t+\tfrac{1}{2}(-g)t^2 = 80-\tfrac{1}{2}g t^2.
  • Com g=9{,}8:
y_B(t)=80-4{,}9\,t^2.
Explanação: B começa em 80\\ \mathrm{m} e sua posição decresce quadráticamente por causa da gravidade.

Passo 5

Determinar o instante do primeiro cruzamento (resolver y_A(t)=y_B(t)):
  • Igualando as expressões encontradas:
22\,t- \tfrac{1}{2}g t^2 = 80 - \tfrac{1}{2}g t^2.
  • Observação importante (e muito útil na prova): os termos -\tfrac{1}{2}g t^2 aparecem dos dois lados e se cancelam, porque ambos têm a mesma aceleração. Isso simplifica o problema muito: sobra uma equação linear em t.
  • Após cancelar os termos iguais:
22\,t = 80.
  • Então
t=\frac{80}{22}=\frac{40}{11}\\ \mathrm{s}.
  • Valor decimal aproximado:
t=\frac{40}{11}\\ \mathrm{s}\approx 3{,}636\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: como a aceleração dos dois é igual, o movimento relativo é com velocidade constante igual à diferença das velocidades iniciais ( 22-0=22\\ \mathrm{m/s}). O tempo para fechar a distância inicial 80\\ \mathrm{m} é 80/22.

Passo 6

Calcular a altura do cruzamento substituindo t=\frac{40}{11} em y_A(t) ou y_B(t):
  • Usando y_A(t)=22t-\tfrac{1}{2}g t^2 e g=9{,}8:
y=22\cdot\frac{40}{11}-4{,}9\left(\frac{40}{11}\right)^{2}.
  • Calcule passo a passo:
    • 22\cdot\frac{40}{11} = 2\cdot 40 = 80.
    • \left(\frac{40}{11}\right)^{2}=\frac{1600}{121}.
    • 4{,}9\cdot\frac{1600}{121}=\frac{49}{10}\cdot\frac{1600}{121}=\frac{7840}{121}.
  • Portanto
y=80-\frac{7840}{121}=\frac{9680-7840}{121}=\frac{1840}{121}\\ \mathrm{m}.
  • Valor decimal aproximado:
y=\frac{1840}{121}\\ \mathrm{m}\approx 15{,}2066\\ \mathrm{m}\approx 15{,}21\\ \mathrm{m}.
Checagem rápida (intuição): o tempo de subida máxima de A é t_{\text{pico}}=v_{0A}/g=22/9{,}8\approx 2{,}245\\ \mathrm{s}. Como o cruzamento ocorre em t\approx 3{,}64\\ \mathrm{s}, A já subiu e está descendo quando se encontra com B — por isso a altura do encontro está bem abaixo do pico.

Resposta

(a) y_A(t)=22\,t-\tfrac{1}{2}g t^2=22\,t-4{,}9\,t^2,\quad y_B(t)=80-\tfrac{1}{2}g t^2=80-4{,}9\,t^2.
(b) t=\dfrac{40}{11}\\ \mathrm{s}\approx 3{,}636\\ \mathrm{s}.
(c) y=\dfrac{1840}{121}\\ \mathrm{m}\approx 15{,}21\\ \mathrm{m}.

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