Dois corpos: um lançado para cima e outro em queda livre
No instante
, um corpo A é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade
. Ao mesmo tempo, um corpo B é largado (queda livre) de uma altura
, sem velocidade inicial.
a) Escreva as equações do movimento de A e de B.
b) Determine o instante em que se cruzam pela primeira vez.
c) Calcule a altura em que ocorre o cruzamento.
a) Escreva as equações do movimento de A e de B.
b) Determine o instante em que se cruzam pela primeira vez.
c) Calcule a altura em que ocorre o cruzamento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Dados fornecidos:
- No instante
, o corpo A é lançado do solo para cima com velocidade inicial . - No mesmo instante
, o corpo B é largado (queda livre) a partir da altura , com velocidade inicial .
- No instante
- Perguntas do problema:
a) Escrever as equações do movimento de A e de B (funçõese ).
b) Determinar o instante em que A e B se cruzam pela primeira vez.
c) Calcular a altura em que ocorre esse cruzamento.
Passo 2
Escolhendo convenção de sinais e fórmula geral:
- Vou tomar a direção para cima como positiva e a origem
no solo. - Para movimento com aceleração constante usamos a fórmula geral
onde:
-
é a posição vertical no instante , -
é a posição inicial (em ), -
é a velocidade inicial (positiva para cima), -
é a aceleração (aqui a única aceleração é a gravidade, que aponta para baixo). - Vou usar
e, como escolhi para cima o sinal positivo, a aceleração será .
(Dica rápida: essa fórmula vem da integração da aceleração constante;e integrando .)
Passo 3
Equação do movimento do corpo A:
- Para A temos
(parte do solo) e . Substituindo na fórmula geral:
- Escrevendo com
:
Explanação: a primeira parcela
é o quanto subiria em movimento uniforme; a parcela
corrige pela aceleração para baixo (freando, invertendo e depois puxando para baixo).
Passo 4
Equação do movimento do corpo B:
- Para B temos
e . Substituindo:
- Com
:
Explanação: B começa em
e sua posição decresce quadráticamente por causa da gravidade.
Passo 5
Determinar o instante do primeiro cruzamento (resolver
):
- Igualando as expressões encontradas:
- Observação importante (e muito útil na prova): os termos
aparecem dos dois lados e se cancelam, porque ambos têm a mesma aceleração. Isso simplifica o problema muito: sobra uma equação linear em . - Após cancelar os termos iguais:
- Então
- Valor decimal aproximado:
Interpretação física: como a aceleração dos dois é igual, o movimento relativo é com velocidade constante igual à diferença das velocidades iniciais (
). O tempo para fechar a distância inicial
é
.
Passo 6
Calcular a altura do cruzamento substituindo
em
ou
:
- Usando
e :
- Calcule passo a passo:
-
- Portanto
- Valor decimal aproximado:
Checagem rápida (intuição): o tempo de subida máxima de A é
. Como o cruzamento ocorre em
, A já subiu e está descendo quando se encontra com B — por isso a altura do encontro está bem abaixo do pico.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)