Um corpo de massa 10 Kg é solto no espaço sem velocidade inicial, e encontra uma resistência do ar proporcional a velocidade do corpo. Determine a velocidade do corpo no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo com massa de 10 kg que é solto no espaço sem velocidade inicial. Ele enfrenta uma resistência do ar que é proporcional à sua velocidade. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade desse corpo no instante t. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton e um pouco de cálculo para lidar com a resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a resistência do ar. Quando a resistência é proporcional à velocidade, podemos expressá-la como:
Fr = -k cdot v
Aqui, Fr é a força de resistência, v é a velocidade do corpo, e k é uma constante positiva que depende do meio e do objeto.

Passo 3

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante ( F) é igual à massa ( m) vezes a aceleração ( a):
F = m cdot a
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
F = m cdot dvdt

Passo 4

No nosso caso, a única força atuando é a resistência do ar. Então, podemos igualar as duas expressões:
m cdot dvdt = -k cdot v
Isso nos dá uma equação diferencial que descreve como a velocidade muda com o tempo.

Passo 5

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis v e t:
dvv = -km cdot dt

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados para resolver a equação diferencial:
integral 1v , dv = -km integral , dt
Isso resulta em:
ln|v| = -km t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
v = e^-km t + C = e^C cdot e^-km t
Podemos simplificar e^C para uma nova constante C':
v = C' cdot e^-km t

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar C'. Sabemos que no instante t = 0, a velocidade v = 0:
0 = C' cdot e^0 Rightarrow C' = 0
Isso sugere que a velocidade permanece zero, o que faz sentido fisicamente se não houver nenhuma outra força além da resistência inicial.

Resposta

Portanto, a velocidade do corpo no instante t é:
v(t) = 0 , m/s

Exercícios relacionados