Um corpo de massa 10 Kg é solto no espaço sem velocidade inicial, e encontra uma resistência do ar proporcional a velocidade do corpo. Determine a velocidade do corpo no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um corpo com massa de 10 kg que é solto no espaço sem velocidade inicial. Ele enfrenta uma resistência do ar que é proporcional à sua velocidade. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade desse corpo no instante
. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton e um pouco de cálculo para lidar com a resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a resistência do ar. Quando a resistência é proporcional à velocidade, podemos expressá-la como:
Aqui,
é a força de resistência,
é a velocidade do corpo, e
é uma constante positiva que depende do meio e do objeto.
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante (
) é igual à massa (
) vezes a aceleração (
):
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Passo 4
No nosso caso, a única força atuando é a resistência do ar. Então, podemos igualar as duas expressões:
Isso nos dá uma equação diferencial que descreve como a velocidade muda com o tempo.
Passo 5
Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis
e
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados para resolver a equação diferencial:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que no instante
, a velocidade
:
Isso sugere que a velocidade permanece zero, o que faz sentido fisicamente se não houver nenhuma outra força além da resistência inicial.
Resposta
Portanto, a velocidade do corpo no instante
é: