Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se duas afirmações sobre continuidade são verdadeiras ou falsas. O conteúdo gira em torno da definição de continuidade de funções reais, da transformação pelo valor absoluto e do produto de funções. Para resolver, vamos usar a definição de continuidade (limite em x→0 igual ao valor da função em 0) e apresentar contraexemplos.
Passo 2
Para (a), precisamos de uma função f tal que |f| seja contínua em x=0, mas f não. Considere a função f definida por
e tome f(0)=1. Então para todo x, temos |f(x)|=1, de modo que |f| é constante e, portanto, contínua em x=0. Mas f não é contínua em x=0, pois
$$
\lim_{x\to0^-}f(x)=-1\neq1=f(0).$$
Logo, a afirmação é falsa.
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Para (b), queremos duas funções f e g descontínuas em x=0, mas cujo produto fg seja contínuo em x=0. Podemos usar exatamente o mesmo tipo de função: defina f e g por
com f(0)=g(0)=1. Cada uma é descontínua em 0 pela mudança de sinal, mas o produto é
isto é, uma função constante igual a 1, logo contínua em x=0. Então a afirmação também é falsa.
Resposta
(a) Falsa. (b) Falsa.