Mostre que y=operatorname s e n x+operatorname c o s x x é uma solução da equação y^prime+y=2 operatorname c o s x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função y=sin x+cos x satisfaz a equação diferencial de primeira ordem y'+y=2cos x. O conteúdo é verificação de solução de EDO e vamos precisar derivar funções trigonométricas e substituir na equação.

Passo 2

Para calcular y', usamos que a derivada de sin x é cos x e a derivada de cos x é -sin x. Logo, temos
y'=cos x-sin x

Passo 3

Substituímos y e y' na soma y'+y:
y'+y=(cos x-sin x)+(sin x+cos x)

Passo 4

Agora simplificamos agrupando termos semelhantes. Do lado direito,
(cos x+cos x)+(-sin x+sin x)=2cos x+0=2cos x

Passo 5

Como a soma y'+y resultou exatamente em 2cos x, concluímos que y=sin x+cos x satisfaz a equação dada.

Resposta

Como y'+y=2cos x, segue que y=sin x+cos x é uma solução da equação.

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