Verifique que y=3 x e^-x satisfaz a equação y^prime prime+2 y^prime-3 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y = 3x e^-x satisfaz a equação diferencial y'' + 2y' - 3y = 0. Vamos usar derivadas, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada y' aplicando a regra do produto em y = 3xcdot e^-x:
y' = ddx(3x),e^-x + 3x,ddx(e^-x) = 3e^-x + 3x(-e^-x) = 3e^-x - 3x e^-x

Passo 3

Agora a segunda derivada y''. Derivamos y' = 3e^-x - 3x e^-x usando regra do produto de novo:
y'' = ddx(3e^-x) - ddx(3x e^-x) = -3e^-x - l[3e^-x - 3x e^-xr] = -6e^-x + 3x e^-x

Passo 4

Substituímos y'', y' e y na combinação y'' + 2y' - 3y e fatoramos e^-x:
y'' + 2y' - 3y = l(-6e^-x + 3x e^-xr) + 2l(3e^-x - 3x e^-xr) - 3l(3x e^-xr)
= e^-xl[-6 + 3x + 6 - 6x - 9xr] = e^-x(-12x) = -12x e^-x

Passo 5

Como y'' + 2y' - 3y = -12x e^-xneq 0, concluímos que y = 3x e^-x NÃO satisfaz a equação diferencial proposta.

Resposta

A substituição mostra que y'' + 2y' - 3y = -12x e^-x neq 0, logo a função não satisfaz a equação.

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