Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^3 centímetros por segundo ao quadrado. Suponha agora que o corpo esteja preso a um amortecedor viscoso que exerce uma força de 4200 d y n quando a velocidade é de 1 centímetro por segundo. Se o sistema é colocado em movimento com uma força externa de 26000 cos (6 t) d y n, determine a posição do corpo como função do tempo e faça um esboço do seu gráfico considerando somente a solução estacionária.
Nota: Lembre-se que 1 dyn =1 g cm / s^2=10^-5 N.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um corpo de 100 gramas que estica uma mola 10 centímetros. A gente precisa achar como a posição desse corpo varia com o tempo quando ele está preso a um amortecedor viscoso e sujeito a uma força externa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimentos oscilatórios, mola, amortecimento e forças externas. Precisamos calcular a constante da mola, o coeficiente de amortecimento e montar a equação do movimento para encontrar a posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante da mola, m times g = k times x . Sabemos que, no equilíbrio, a força da mola iguala o peso do corpo. A força da mola é dada por 0,1 times 100 = k times 0,1 , onde 10 = 0,1k Rightarrow k = 100 , N/m é a deformação da mola.
Dado:
  • Massa ( ) = 100 g = 0,1 kg
  • Deformação ( ) = 10 cm = 0,1 m
  • Aceleração da gravidade ( ) = cm/s² = 100 m/s²
No equilíbrio:

Passo 3

Agora, vamos achar o coeficiente de amortecimento, 1 , dyn = 10^-5 , N . Sabemos que o amortecedor exerce uma força de 4200 dyn quando a velocidade é de 1 cm/s. Primeiro, convertemos dyn para N:
4200 , dyn = 4200 times 10^-5 , N = 0,042 , N
Portanto:
0,042 = c times 0,01 Rightarrow c = 4,2 , kg/s
A força do amortecedor é . Como quando :

Passo 4

A força externa aplicada é 26000 , dyn = 26000 times 10^-5 , N = 0,26 , N . Convertendo para N:
m ddotx(t) + c dotx(t) + k x(t) = F(t)
Com isso, a equação diferencial que rege o movimento do sistema massa-mola-amortecedor é:
0,1 ddotx(t) + 4,2 dotx(t) + 100 x(t) = 0,26 cos(6t)
Substituindo os valores:

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução estacionária, que é a resposta do sistema após o transient desaparecer. A solução geral é a soma da solução homogênea (transient) e da solução particular (estacionária). Como queremos apenas a solução estacionária, vamos focar na parte que responde diretamente à força externa.

Passo 6

Assumindo uma solução particular da forma:
xp(t) = A cos(6t) + B sin(6t)
Derivando:
dotxp(t) = -6A sin(6t) + 6B cos(6t)
ddotxp(t) = -36A cos(6t) - 36B sin(6t)
Substituindo na equação diferencial:
0,1(-36A cos(6t) - 36B sin(6t)) + 4,2(-6A sin(6t) + 6B cos(6t)) + 100(A cos(6t) + B sin(6t)) = 0,26 cos(6t)

Passo 7

Simplificando os termos:
-3,6A cos(6t) - 3,6B sin(6t) -25,2A sin(6t) + 25,2B cos(6t) + 100A cos(6t) + 100B sin(6t) = 0,26 cos(6t)
Agrupando os termos de (-3,6A + 25,2B + 100A) cos(6t) + (-3,6B -25,2A + 100B) sin(6t) = 0,26 cos(6t) e (96,4A + 25,2B) cos(6t) + (96,4B -25,2A) sin(6t) = 0,26 cos(6t) :
96,4A + 25,2B = 0,26
96,4B -25,2A = 0
Igualando os coeficientes:
96,4B = 25,2A Rightarrow A = 96,425,2 B approx 3,825 B
96,4 (3,825 B) + 25,2 B = 0,26
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
368,13 B + 25,2 B = 0,26
Substituindo na primeira equação:
393,33 B = 0,26 Rightarrow B approx 0,26393,33 approx 0,00066
A approx 3,825 times 0,00066 approx 0,00253
Então:

Resposta

A posição do corpo em função do tempo na solução estacionária é aproximadamente:
x(t) = 0,00253 cos(6t) + 0,00066 sin(6t) , metros
Esse resultado mostra como o corpo oscila de forma estável sob a ação da força externa e do amortecimento. O gráfico seria uma oscilação suave com amplitude constante, representando a resposta estacionária do sistema.

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