Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de
centímetros por segundo ao quadrado. Suponha agora que o corpo esteja preso a um amortecedor viscoso que exerce uma força de
quando a velocidade é de 1 centímetro por segundo. Se o sistema é colocado em movimento com uma força externa de
, determine a posição do corpo como função do tempo e faça um esboço do seu gráfico considerando somente a solução estacionária.
Nota: Lembre-se que 1 dyn
.
Nota: Lembre-se que 1 dyn
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um corpo de 100 gramas que estica uma mola 10 centímetros. A gente precisa achar como a posição desse corpo varia com o tempo quando ele está preso a um amortecedor viscoso e sujeito a uma força externa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimentos oscilatórios, mola, amortecimento e forças externas. Precisamos calcular a constante da mola, o coeficiente de amortecimento e montar a equação do movimento para encontrar a posição em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante da mola,
. Sabemos que, no equilíbrio, a força da mola iguala o peso do corpo. A força da mola é dada por
, onde
é a deformação da mola.
Dado:
- Massa (
) = 100 g = 0,1 kg - Deformação (
) = 10 cm = 0,1 m - Aceleração da gravidade (
) = cm/s² = 100 m/s²
No equilíbrio:
Passo 3
Agora, vamos achar o coeficiente de amortecimento,
. Sabemos que o amortecedor exerce uma força de 4200 dyn quando a velocidade é de 1 cm/s. Primeiro, convertemos dyn para N:
Portanto:
A força do amortecedor é
. Como
quando
:
Passo 4
A força externa aplicada é
. Convertendo para N:
Com isso, a equação diferencial que rege o movimento do sistema massa-mola-amortecedor é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução estacionária, que é a resposta do sistema após o transient desaparecer. A solução geral é a soma da solução homogênea (transient) e da solução particular (estacionária). Como queremos apenas a solução estacionária, vamos focar na parte que responde diretamente à força externa.
Passo 6
Assumindo uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 7
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de
e
:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Resposta
A posição do corpo em função do tempo na solução estacionária é aproximadamente:
Esse resultado mostra como o corpo oscila de forma estável sob a ação da força externa e do amortecimento. O gráfico seria uma oscilação suave com amplitude constante, representando a resposta estacionária do sistema.