Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(2n)^n n!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty l(tfrac2nr)^n n! converge ou diverge. Isso envolve conteúdo de séries numéricas e podemos usar o teste da razão de D’Alembert para resolver.

Passo 2

O teste da razão diz que, se definirmos an = l(tfrac2nr)^n n!, devemos calcular limntoinfty tfracan+1an. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = l(tfrac2n+1r)^n+1 (n+1)!l(tfrac2nr)^n n! = 2 (nn+1)^n

Passo 4

Agora, notamos que
(nn+1)^n = l(1 + tfrac1nr)^-n longrightarrow e^-1 quando n to infty
Então
limntoinfty an+1an = 2 cdot e^-1 = 2e < 1
Pelo teste da razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da razão, pois limntoinfty tfracan+1an = 2/e < 1.

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