Resolva as equaçōes diferencias abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Aqui, a gente vai trabalhar com equações diferenciais ordinárias, mais especificamente com equações que podem ser simplificadas para uma forma linear ou passíveis de separação de variáveis. Vamos precisar usar técnicas de substituição e integrar para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração do lado direito da equação para facilitar a visualização. Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos definir $ u = y^{5} $. Isso porque a presença de $ y^{5} $ e $ y^{4} $ sugere que elevar y a uma potência pode ajudar.
Então, derivando ambos os lados em relação a x:
Passo 4
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Como $ u = y^{5} $, podemos substituir novamente:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
Para resolver isso, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $:
Passo 6
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ x^{-15} u $:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a x:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para $ u $:
Lembrando que $ u = y^{5} $, substituímos de volta:
Passo 9
Finalmente, isolando y:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.