Resolva as equaçōes diferencias abaixo.
(b) d yd x=y^2-2x^2. Sugestão: considere a substituição x y=u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais, onde a gente busca funções que satisfazem certas relações envolvendo suas derivadas. A dica aqui é usar a substituição , que vai ajudar a simplificar a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: dydx = dudx cdot 1x - ux^2 . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do quociente:

Passo 3

Substituímos dudx cdot 1x - ux^2 = ( ux )^2 - 2x^2 e dudx cdot 1x - ux^2 = u^2x^2 - 2x^2 na equação original:
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Multiplicando tudo por x dudx - u = u^2 - 2 para eliminar os denominadores:
x dudx = u^2 - u - 2
Rearranjando os termos:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial separável:
dudx = u^2 - u - 2x
Podemos rearranjar para separar as variáveis duu^2 - u - 2 = dxx e :

Passo 6

Vamos resolver a integral de ambos os lados. Primeiro, fatoramos o denominador do lado esquerdo:
u^2 - u - 2 = (u - 2)(u + 1)
Então, decompomos em frações parciais:
1(u - 2)(u + 1) = Au - 2 + Bu + 1
Resolvendo para 1 = A(u + 1) + B(u - 2) e 1 = A(3) Rightarrow A = 13 :
1 = B(-3) Rightarrow B = -13
Escolhendo 1(u - 2)(u + 1) = 13 ( 1u - 2 - 1u + 1 ) :
Escolhendo :
Então,

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral 13 ( 1u - 2 - 1u + 1 ) du = integral 1x dx
Isso resulta em:
13 ln|u - 2| - 13 ln|u + 1| = ln|x| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão:
Podemos reescrever como:
ln | (u - 2)^1/3(u + 1)^1/3 | = ln|x| + C
Onde u - 2u + 1 = K x^3 é uma nova constante.

Passo 9

Lembrando que x y - 2x y + 1 = K x^3 , substituímos de volta:
x y - 2 = K x^3 (x y + 1)
Agora, resolvemos para x y - 2 = K x^4 y + K x^3 :
x y - K x^4 y = 2 + K x^3
y (x - K x^4) = 2 + K x^3
y = 2 + K x^3x (1 - K x^3)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 2 + K x^3x (1 - K x^3)
Onde é uma constante arbitrária.

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