Resolva as equaçōes diferencias abaixo.
. Sugestão: considere a substituição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais, onde a gente busca funções que satisfazem certas relações envolvendo suas derivadas. A dica aqui é usar a substituição
, que vai ajudar a simplificar a equação e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra do quociente:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Multiplicando tudo por
para eliminar os denominadores:
Rearranjando os termos:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Podemos rearranjar para separar as variáveis
e
:
Passo 6
Vamos resolver a integral de ambos os lados. Primeiro, fatoramos o denominador do lado esquerdo:
Então, decompomos em frações parciais:
Resolvendo para
e
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então,
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever como:
Onde
é uma nova constante.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.