Período de um pêndulo é o intervalo de tempo gasto numa oscilação completa. Um pêndulo executa 10 oscilações completas em 9,0 segundos. Qual o período do pêndulo? Qual o seu comprimento aproximado? Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \pi^{2}=10

Passo 1

O enunciado diz que um pêndulo faz 10 oscilações completas em 9{,}0\\ \mathrm{s}. Pede-se:
  1. o período do pêndulo (tempo de uma oscilação completa);
  2. o comprimento aproximado do pêndulo.
    Dados fornecidos: N=10 (número de oscilações), t_{\text{total}}=9{,}0\\ \mathrm{s}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e \pi^{2}=10.

Passo 2

Definição e cálculo do período. O período T é o tempo de uma oscilação completa. Se N oscilações levam tempo t_{\text{total}}, então
T=\frac{t_{\text{total}}}{N}.
Aplicando os números:
T=\frac{9{,}0}{10}=0{,}90\\ \mathrm{s}.
Interpretação: cada oscilação demora 0{,}90\\ \mathrm{s}. Respira — já resolvemos a primeira parte!

Passo 3

Fórmula do período de um pêndulo (pequenas oscilações) e explicação curta. Para pequenas amplitudes (ângulos pequenos, em radianos) usa-se a aproximação \sin\theta\approx\theta. Com isso o movimento angular do pêndulo satisfaz uma equação do tipo da oscilação harmónica simples, cuja solução leva à fórmula
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde T é o período, L o comprimento do fio do pêndulo e g a aceleração da gravidade. Aqui: T em segundos, L em metros, g em \mathrm{m/s^{2}} e \pi é a constante 3{,}1415\ldots.

Passo 4

Isolar L na fórmula para poder calcular o comprimento a partir do período medido. Partimos de
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Dividindo ambos os lados por 2\pi e elevando ao quadrado:
\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=\frac{L}{g}.
Logo
L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=\frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}.
Explicação do que fizemos: primeiro isolamos a raiz quadrada, depois quadramos para eliminar a raiz; o resultado é uma fórmula direta para L.

Passo 5

Substituir os valores conhecidos e calcular passo a passo. Já temos T=0{,}90\\ \mathrm{s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}. Usamos também \pi^{2}=10 (valor fornecido), então 4\pi^{2}=4\cdot10=40.
Calculemos T^{2}:
T^{2}=(0{,}90)^{2}=0{,}81.
Agora o numerador gT^{2}:
gT^{2}=10\cdot0{,}81=8{,}1.
E o denominador 4\pi^{2}:
4\pi^{2}=40.
Portanto
L=\frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{8{,}1}{40}=0{,}2025\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento prático. O comprimento L=0{,}2025\\ \mathrm{m} corresponde a
L\approx0{,}203\\ \mathrm{m}=20{,}3\\ \mathrm{cm}.
Como o enunciado pediu o comprimento aproximado, podemos informar 0{,}20\\ \mathrm{m} ou 20{,}3\\ \mathrm{cm}; mantive três casas significativas.

Resposta

Período: T=0{,}90\\ \mathrm{s}
Comprimento aproximado: L\approx0{,}203\\ \mathrm{m}=20{,}3\\ \mathrm{cm}

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