Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco (
), uma mola (
) e uma força de amortecimento
. Inicialmente, ele oscila com amplitude de
; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para três quartos do seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações. Qual o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de oscilações amortecidas! A gente tem um bloco de massa $ m = 2, kg $, uma mola com constante elástica $ k = 10,0, N/m $ e uma força de amortecimento $ F = -\rho v $, onde $ \rho $ é o coeficiente de amortecimento que queremos encontrar. Inicialmente, a amplitude da oscilação é de $ 25,0, cm $, e depois de quatro oscilações, a amplitude reduz para três quartos desse valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico amortecido e como a amplitude varia com o tempo nesse tipo de oscilação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de oscilador harmônico amortecido, a amplitude $ A $ diminui exponencialmente com o tempo devido ao amortecimento. A expressão para a amplitude em função do tempo é:
Aqui, $ A_0 $ é a amplitude inicial e $ \gamma $ é a taxa de amortecimento, que está relacionada ao coeficiente $ \rho $ que queremos encontrar.
Passo 3
A taxa de amortecimento $ \gamma $ pode ser expressa em termos da massa $ m $ e do coeficiente de amortecimento $ \rho $:
Vamos precisar dessa relação mais adiante para encontrar $ \rho $.
Passo 4
Sabemos que após quatro oscilações, a amplitude diminuiu para três quartos do valor inicial. Primeiro, vamos determinar o tempo que leva para completar quatro oscilações. Para isso, precisamos da frequência das oscilações.
A frequência angular para um oscilador harmônico amortecido é dada por:
No entanto, como estamos tratando de um amortecimento leve, podemos aproximar $ \omega $ por $ \sqrt{\frac{k}{m}} $. Vamos calcular essa frequência:
Passo 5
O período $ T $ de uma oscilação é o tempo para completar uma oscilação completa e é dado por:
Então, o tempo total para quatro oscilações é:
Passo 6
Voltando à equação da amplitude:
Sabemos que depois de $ t = 11,25, s $, a amplitude $ A(t) = \frac{3}{4} A_0 $. Vamos substituir esses valores na equação:
Podemos cancelar $ A_0 $ dos dois lados:
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ \gamma $. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Isolando $ \gamma $:
Calculando o valor:
Então,
Passo 8
Agora que temos $ \gamma $, vamos usar a relação com $ \rho $:
Isolando $ \rho $:
Substituindo os valores:
Resposta
O valor do coeficiente de amortecimento $ \rho $ é aproximadamente $ 0,1024, kg/s $.