Um corpo de massa m=40 g está preso a uma mola de constante elástica k =100 N / m. Este sistema é colocado para oscilar e depois imerso num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é b =0,08 kg / s. (a) Determine a frequência natural do sistema. (b) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes (indicando suas unidades). (c) Qual é o regime de oscilação? (justifique). (d) Qual é a frequência de oscilação?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola amortecido por atrito viscoso. Temos massa m=0,04 kg, constante elástica k=100 N/m e coeficiente de atrito viscoso b=0,08 kg/s. Precisamos
  1. calcular a frequência natural;
  2. escrever a equação diferencial com os valores numéricos;
  3. classificar o regime de oscilação;
  4. encontrar a frequência amortecida.

Passo 2

A frequência natural não amortecida em rad/s é
omega0 = raizkm = raiz1000,04 = 50 rad/s
Convertendo em hertz,
f0 = omega02pi = 502piapprox 7,96 Hz

Passo 3

A equação diferencial geral do MOVIMENTO HARMÔNICO AMORTECIDO é
m,ddot x + b,dot x + k,x = 0
Substituindo os valores numéricos e suas unidades, fica
0,04,ddot x + 0,08,dot x + 100,x = 0 (kg,;kg/s,;N/m)
Dividindo tudo por m=0,04 kg, obtemos
ddot x + bm,dot x + km,x = 0 longrightarrow ddot x + 2,dot x + 2500,x = 0,
onde os coeficientes têm unidades de s^-1 e s^-2.

Passo 4

Para classificar o regime calculamos
b2m = 0,082cdot0,04 = 1 s^-1,
e comparamos a omega0=50 rad/s. Como
l(tfracb2mr)^2 = 1^2 = 1 < omega0^2 = 2500,
o sistema está em regime SUBAMORTECIDO (underdamped), pois o atrito não é forte o bastante para impedir oscilações.

Passo 5

A frequência amortecida em rad/s é
omegad = raizomega0^2 - l(tfracb2mr)^2 = raiz2500 - 1 = raiz2499approx 49,99 rad/s,
e em hertz
fd = omegad2piapprox 49,992piapprox 7,96 Hz

Resposta

(a) omega0=50 rad/s, f0approx7,96 Hz.
(b) 0,04,ddot x + 0,08,dot x + 100,x = 0 ou ddot x +2,dot x +2500,x=0.
(c) Regime SUBAMORTECIDO, pois l(tfracb2mr)^2<omega0^2.
(d) omegadapprox49,99 rad/s, fdapprox7,96 Hz.

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