Um corpo de massa 50 g está preso a uma mola de constante k=20 N / m e oscila, inicialmente, livremente. Esse oscilador é posteriormente colocado num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é b=0,9 kg / s. Depois disso o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por uma força externa F=F0 cos (omega^prime t), onde F0=9,0 Ne omega^prime prime=20,0 rad / s. (a) Determine a frequência natural do sistema. (b) Qual o regime de oscilação do sistema quando imerso no meio viscoso, mas antes de ser excitado pela força externa? Justifique a resposta. (c) Depois que a força externa é aplicada e que o sistema entrou no regime estacionário, qual o valor da amplitude do movimento? (d) Qual deveria ser o valor exato da frequência externa de excitação para que a amplitude de oscilação, no regime estacionário, fosse máxima?

Passo 1

A questão trata de um oscilador massa-mola com massa m = 50 g (ou 0,05 kg) e constante da mola k = 20 N/m. Primeiro ele oscila livremente e depois é imerso num meio viscoso com coeficiente de atrito b = 0,9 kg/s. Em seguida é aplicada uma força externa F = F₀ cos(ω′ t), com F₀ = 9,0 N e ω′ = 20,0 rad/s. Vamos usar teoria de oscilações livres (frequência natural), amortecimento viscoso (coeficiente de amortecimento e regimes) e resposta em regime estacionário de um sistema forçado.

Passo 2

Para encontrar a frequência natural não amortecida usamos a fórmula
ω₀ = raizkm
Substituindo k = 20 N/m e m = 0,05 kg, temos
ω₀ = raiz200.05 = raiz400 = 20,0 rad/s

Passo 3

Antes da excitação externa, mas já imerso no meio viscoso, determinamos o coeficiente de amortecimento e comparamos com o crítico. O coeficiente de amortecimento é
γ = b2m = 0.92times0.05 = 9,0 s^-1
O amortecimento crítico em termos de b é
bcr = 2 m ω₀ = 2 times 0.05 times 20 = 2,0 kg/s
Como b = 0,9 < b_{cr} = 2,0, o sistema fica no regime subamortecido (γ < ω₀).

Passo 4

No regime estacionário forçado, a amplitude A é dada por
A(ω') = F₀raiz(k - mω'^2)^2 + (b ω')^2
Aqui ω’ = 20,0 rad/s. Calculamos primeiro k - m ω’²:
k - mω'^2 = 20 - 0.05times400 = 20 - 20 = 0
Portanto
A = 9,00.9times20 = 918 = 0,50 m

Passo 5

Para que a amplitude seja máxima em regime estacionário de um sistema amortecido forçado, a frequência externa ideal é a frequência de ressonância amortecida,
ωres = raizω₀^2 - 2γ^2
Substituindo ω₀ = 20,0 rad/s e γ = 9,0 s⁻¹,
ωres = raiz400 - 2times81 = raiz400 - 162 = raiz238 approx 15,4 rad/s

Resposta

a) ω₀ = 20,0 rad/s
b) Regime subamortecido, pois b = 0,9 < bcr = 2,0 kg/s (γ < ω₀).
c) Amplitude no regime estacionário: A = 0,50 m.
d) Para amplitude máxima: ωext = ωres = raiz238 approx 15,4 rad/s

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