Um corpo de massa 50 g está preso a uma mola de constante
e oscila, inicialmente, livremente. Esse oscilador é posteriormente colocado num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é
. Depois disso o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por uma força externa
, onde
. (a) Determine a frequência natural do sistema. (b) Qual o regime de oscilação do sistema quando imerso no meio viscoso, mas antes de ser excitado pela força externa? Justifique a resposta. (c) Depois que a força externa é aplicada e que o sistema entrou no regime estacionário, qual o valor da amplitude do movimento? (d) Qual deveria ser o valor exato da frequência externa de excitação para que a amplitude de oscilação, no regime estacionário, fosse máxima?
Passo 1
A questão trata de um oscilador massa-mola com massa m = 50 g (ou 0,05 kg) e constante da mola k = 20 N/m. Primeiro ele oscila livremente e depois é imerso num meio viscoso com coeficiente de atrito b = 0,9 kg/s. Em seguida é aplicada uma força externa F = F₀ cos(ω′ t), com F₀ = 9,0 N e ω′ = 20,0 rad/s. Vamos usar teoria de oscilações livres (frequência natural), amortecimento viscoso (coeficiente de amortecimento e regimes) e resposta em regime estacionário de um sistema forçado.
Passo 2
Para encontrar a frequência natural não amortecida usamos a fórmula
Substituindo k = 20 N/m e m = 0,05 kg, temos
Passo 3
Antes da excitação externa, mas já imerso no meio viscoso, determinamos o coeficiente de amortecimento e comparamos com o crítico. O coeficiente de amortecimento é
O amortecimento crítico em termos de b é
Como b = 0,9 < b_{cr} = 2,0, o sistema fica no regime subamortecido (γ < ω₀).
Passo 4
No regime estacionário forçado, a amplitude A é dada por
Aqui ω’ = 20,0 rad/s. Calculamos primeiro k - m ω’²:
Portanto
Passo 5
Para que a amplitude seja máxima em regime estacionário de um sistema amortecido forçado, a frequência externa ideal é a frequência de ressonância amortecida,
Substituindo ω₀ = 20,0 rad/s e γ = 9,0 s⁻¹,
Resposta
a)
b) Regime subamortecido, pois (γ < ω₀).
c) Amplitude no regime estacionário: .
d) Para amplitude máxima:
b) Regime subamortecido, pois
c) Amplitude no regime estacionário:
d) Para amplitude máxima: