Suponha que um carro apresente a velocidade variando em cada instante segundo a equação: v=55 m / s+(0,47 m / s^3) t^2.
Determine:
a) A variação da velocidade média do carro no intervalo de tempo entre t1=1,0s e t2=3,0s.
b) A aceleração média durante o mesmo intervalo.
c) A aceleração instantânea do carro para t=1,0 segundo considerando De<a t 1=0,01 s e De<a t 2=0,001 s.
d) Deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo e à partir dela calcule a velocidade para t=1,0 s e t=3,0 s.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função da velocidade do carro em função do tempo dada por v(t)=55;m/s+0,47;m/s^3,t^2. O conteúdo é cinemática unidimensional, vamos precisar calcular variação de velocidade, aceleração média, aproximações de derivada e derivada analítica.

Passo 2

Para calcular a variação de velocidade entre t1=1,0,s e t2=3,0,s, primeiro avalio v(1,0) e v(3,0):
v(1)=55+0,47times1^2=55,47;m/s,
v(3)=55+0,47times3^2=55+4,23=59,23;m/s

Passo 3

A variação de velocidade (parte a) é
De<a v=v(3)-v(1)=59,23-55,47=3,76;m/s

Passo 4

A aceleração média no intervalo (parte b) é dada por
améd=De<a voverDe<a t=3,76over3-1=1,88;m/s^2é

Passo 5

Para a aceleração instantânea aproximada em t=1,0,s (parte c), uso diferenças finitas:
arm inst1approxv(1,01)-v(1)over0,01=55+0,47times1,01^2-55,47over0,01approx0,9447;m/s^2,
arm inst2approxv(1,001)-v(1)over0,001=55+0,47times1,001^2-55,47over0,001approx0,9405;m/s^2

Passo 6

Para obter a expressão geral da aceleração instantânea (parte d), derivo v(t):
a(t)=dvdt=ddtl(55+0,47,t^2r)=2times0,47,t=0,94,t;m/s^2
Integrando essa aceleração recupero v(t):
v(t)=integral0,94,t,dt=0,47,t^2+C
Como v(0)=55, temos C=55 e
v(t)=55+0,47,t^2
Então
v(1)=55,47;m/s, v(3)=59,23;m/s

Resposta

a) De<a v=3,76;m/s. b) arm méd=1,88;m/s^2é. c) arm instapprox0,9447;m/s^2 (para De<a t=0,01,s) e approx0,9405;m/s^2 (para De<a t=0,001,s). d) a(t)=0,94,t;m/s^2, integrando v(t)=55+0,47,t^2, de onde v(1)=55,47;m/s e v(3)=59,23;m/s.

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